傅里叶变换 连续时间函数 $x(t)$ 的傅里叶变换定义为： $$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt}$$ 双边实指数函数的傅里叶变换 设一个双边实指数函数为： $$\mathrm{x(t)=e^{-a|t|}}$$ 双边或双侧实指数函数定义为： $$\mathrm{e^{-a|t|}=\begin{cases}e^{at} & for\:t ≤ 0\e^{-at} & for\:t ≥ 0 \end{cases} =e^{at}u(-t)+e^{-at}u(t) }$$ 其中，函数 $u(t)$ 和 $u(-t)$ 分别是单位阶跃函数和时间反转单位阶跃函数。根据傅里叶变换的定义，我们有： $$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt=\int_{−\infty}^{\infty}e^{-a|t|}e^{-j\omega t}dt}$$ $$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}[e^{at}u(-t)+e^{-at}u(t)]e^{-j\omega t}dt}$$ $$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\int_{−\infty}^{0}e^{at}e^{-j\omega t}dt+\int_{0}^{\infty}e^{-at}e^{-j\omega t}dt}$$ $$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\int_{-\infty}^{0}e^{(a-j\omega)t}dt+\int_{0}^{\infty}e^{-(a+j\omega)t}dt}$$ $$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\int_{0}^{\infty}e^{-(a-j\omega)t}dt+\int_{0}^{\infty}e^{-(a+j\omega)t}dt}$$ $$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\left[\frac{e^{-(a-j\omega)t}}{-(a-j\omega)}\right]_{0}^{\infty}+\left[\frac{e^{-(a+j\omega)t}}{-(a+j\omega)}\right]_{0}^{\infty}=\left[\frac{e^{-\infty}-e^{0}}{-(a-j\omega)} \right]+\left[\frac{e^{-\infty}-e^{0}}{-(a+j\omega)} \right]}$$ $$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\frac{1}{a-j\omega}+\frac{1}{a+j\omega}=\frac{2a}{a^{2}+\omega^{2}}}$$ 因此，双边实指数函数的傅里叶变换为： $$\mathrm{F[e^{-a|t|}]=X(\omega)=\frac{2a}{a^{2}+\omega^{2}}}$$ 或者，也可以表示为： $$\mathrm{e^{-a|t|}\overset{FT}{\leftrightarrow}\frac{2a}{a^{2}+\omega^{2}}}$$ 幅度... 阅读更多

傅里叶变换 连续时间函数 $x(t)$ 的傅里叶变换定义为： $$\mathrm{x(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t }dt}$$ 正弦函数的傅里叶变换 设 $$\mathrm{x(t)=sin\:\omega_{0} t}$$ 根据欧拉公式，我们有： $$\mathrm{x(t)=sin\:\omega_{0} t=\left[\frac{ e^{j\omega_{0} t}- e^{-j\omega_{0} t}}{2j} \right]}$$ 然后，根据傅里叶变换的定义，我们有： $$\mathrm{F[sin\:\omega_{0} t]=X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt=\int_{−\infty}^{\infty}sin\:\omega_{0}\: t\: e^{-j\omega t}dt}$$ $$\mathrm{ \Rightarrow\:X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}\left[ \frac{e^{j\omega_{0} t}-e^{-j\omega_{0} t}}{2j}\right] e^{-j\omega t}dt}$$ $$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\frac{1}{2j}\left[ \int_{−\infty}^{\infty}e^{j\omega_{0} t}e^{-j\omega t} dt-\int_{−\infty}^{\infty} e^{-j\omega_{0} t}e^{-j\omega t} dt\right]}$$ $$\mathrm{=\frac{1}{2j}\{F[e^{j\omega_{0} t}] -F[e^{-j\omega_{0} t}]\}}$$ 由于复指数函数的傅里叶变换由下式给出： $$\mathrm{F[e^{j\omega_{0} t}]=2\pi\delta(\omega-\omega_{0})\:\:and\:\:F[e^{-j\omega_{0} t}]=2\pi\delta(\omega+\omega_{0})}$$ $$\mathrm{ \therefore\:X(\omega)=\frac{1}{2j}[2\pi\delta(\omega-\omega_{0})-2\pi\delta(\omega+\omega_{0})]}$$ $$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=-j\pi[\delta(\omega-\omega_{0})-\delta(\omega+\omega_{0})]}$$ 因此，正弦波的傅里叶变换为： $$\mathrm{F[sin\:\omega_{0}\:t]=-j\pi[\delta(\omega-\omega_{0})-\delta(\omega+\omega_{0})]}$$ 或者，也可以表示为： $$\mathrm{sin\:\omega_{0}\:t\overset{FT}{\leftrightarrow}-j\pi[\delta(\omega-\omega_{0})-\delta(\omega+\omega_{0})]}$$ 正弦函数的图形表示... 阅读更多

傅里叶变换 连续时间函数 $x(t)$ 的傅里叶变换定义为： $$\mathrm{X(\omega)= \int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt}$$ 单边实指数函数的傅里叶变换 单边实指数函数定义为： $$\mathrm{x(t)=e^{-a t}u(t)}$$ 其中，$u(t)$ 是单位阶跃信号，定义为： $$\mathrm{u(t)=\begin{cases}1 & for\:t≥ 0 \0 & for\:t < 0 \end{cases}}$$ 然后，根据傅里叶变换的定义，我们有： $$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt=\int_{−\infty}^{\infty}e^{-at}u(t)e^{-j\omega t}dt}$$ $$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\int_{0}^{\infty}e^{-at}e^{-j\omega t}dt}$$ $$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\int_{0}^{\infty}e^{-(a+j\omega)t} dt=\left[\frac{e^{-(a+j\omega)t}}{-(a+j\omega)} \right]_{0}^{\infty}}$$ $$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\frac{1}{-(a+j\omega)}[e^{-\infty}-e^{0}]=\frac{0-1}{-(a+j\omega)}=\frac{1}{a+j\omega}}$$ 因此，单边实指数函数的傅里叶变换为： $$\mathrm{F[e^{-at}u(t)]=\frac{1}{a+j\omega}}$$ 或者，也可以表示为： $$\mathrm{e^{-at}u(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}\frac{1}{a+j\omega}}$$ 单边实指数函数的傅里叶变换的幅度和相位表示 单边实指数函数的傅里叶变换... 阅读更多

傅里叶变换 连续时间函数 $x(t)$ 的傅里叶变换定义为： $$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt}$$ 符号函数的傅里叶变换 符号函数用 $sgn(t)$ 表示，定义为$$\mathrm{sgn(t)=\begin{cases}1 & for\:t>0\-1 & for\:t

傅里叶变换 连续时间函数 $x(t)$ 的傅里叶变换定义为： $$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}\:dt}$$ 矩形函数的傅里叶变换 考虑图 1 所示的矩形函数。它定义为： $$\mathrm{rect\left(\frac{t}{τ}\right)=\prod\left(\frac{t}{τ}\right)=\begin{cases}1 & for\:|t|≤ \left(\frac{τ}{2}\right)\0 & otherwise\end{cases}}$$ 已知 $$\mathrm{x(t)=\prod\left(\frac{t}{τ}\right)}$$ 因此，根据傅里叶变换的定义，我们有： $$\mathrm{F\left[\prod\left(\frac{t}{τ}\right) \right]=X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}\:dt=\int_{−\infty}^{\infty}\prod\left(\frac{t}{τ}\right)e^{-j\omega t}\:dt}$$ $$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\int_{−(τ/2)}^{(τ/2)}1\cdot e^{-j\omega t}\:dt=\left[\frac{e^{-j\omega t}}{-j\omega} \right]_{-τ/2}^{τ/2}}$$ $$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\left[ \frac{e^{-j\omega (τ/2)}-e^{j\omega (τ/2)}}{-j\omega}\right]=\left[ \frac{e^{j\omega (τ/2)}-e^{-j\omega (τ/2)}}{j\omega }\right]}$$ $$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\left[ \frac{2τ[e^{j\omega (τ/2)}-e^{-j\omega (τ/2)}]}{j\omega\cdot (2τ) }\right]=\frac{τ}{\omega(τ/2)}\left[\frac{e^{j\omega (τ/2)}-e^{-j\omega (τ/2)}}{2j} \right]}$$ $$\mathrm{\because \:\left[\frac{e^{j\omega (τ/2)}-e^{-j\omega (τ/2)}}{2j} \right]=sin\:\omega (τ/2)}$$ $$\mathrm{\therefore\:X(\omega)=\frac{τ}{\omega(τ/2)}\cdot sin \omega (τ/2)=τ \left[\frac{sin\omega (τ/2)}{\omega (τ/2)}\right]}$$ $$\mathrm{\because\:sinc \left(\frac{\omega τ}{2}\right)=\frac{sin\omega (τ/2)}{\omega (τ/2)}}$$ $$\mathrm{\therefore\:X(\omega)=τ\cdot sinc \left(\frac{\omega τ}{2}\right)}$$ 因此，矩形函数的傅里叶变换为 $$\mathrm{F\left[\prod\left(\frac{t}{τ}\right)\right]=τ\cdot sinc \left(\frac{\omega τ}{2}\right)}$$ 或者，它也可以... 阅读更多

傅里叶变换 连续时间函数 $x(t)$ 的傅里叶变换定义为： $$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)\:e^{-j\omega t}dt}$$ 三角脉冲的傅里叶变换 图 1 显示了一个三角信号 −它定义为：$$\mathrm{\Delta \left(\frac{t}{τ}\right)=\begin{cases}\left( 1+\frac{2t}{τ}\right); & for\:\left(-\frac{τ}{2}\right)

频率为 $0, \omega_{0}, 2\omega_{0}, 3\omega_{0}, ....k\omega_{0}$ 的正弦和余弦项的无限级数称为三角傅里叶级数，可以写成： $$\mathrm{x(t)=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\:cos\:n\omega_{0} t+b_{n}\:sin\:n\omega_{0} t… (1)}$$ 这里，常数 $a_{0}, a_{n}$ 和 $b_{n}$ 称为三角傅里叶级数系数。$a_{0}$ 的计算 为了计算系数 $a_{0}$，我们将对等式 (1) 两边在一个周期内积分，即： $$\mathrm{\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}x(t)\:dt=a_{0}\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}dt+\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}\left(\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\:cos\:n\omega_{0} t+b_{n}\:sin\:n\omega_{0} t\right)dt}$$ $$\mathrm{\Rightarrow\:\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}x(t)\:dt=a_{0}T+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}cos\:n\omega_{0} t\:dt+\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}sin\:n\omega_{0} t\:dt… (2)}$$ 众所周知，对于任何非零整数 n 和任何时间 $t_{0}$，正弦波在一个完整周期内的净面积为零。因此， $$\mathrm{\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}cos\:n\omega_{0} t\:dt=0\:\:and\:\:\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}sin\:n\omega_{0} t\:dt=0}$$ 因此，从等式 (2) 中，我们得到： $$\mathrm{\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}x(t)\:dt=a_{0}T}$$ $$\mathrm{\therefore\:a_{0}=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}x(t)\:dt… (3)}$$ 使用等式 (3)，... 阅读更多

什么是傅里叶级数？在工程领域，大多数现象都是周期性的，例如交流电流和电压。可以通过分解为其组成部分的过程（称为傅里叶级数）来分析这些周期函数。因此，傅里叶级数可以定义如下 −“用正交函数（即正弦和余弦函数）的线性组合来表示一定时间间隔内周期信号的方法称为傅里叶级数。”傅里叶级数仅适用于周期信号，即在 $(-\infty\:to\:\infty)$ 区间内周期性重复的信号，并且... 阅读更多

傅里叶级数的余弦形式是三角傅里叶级数的另一种形式。余弦形式的傅里叶级数也称为极坐标形式傅里叶级数或谐波形式傅里叶级数。函数x(t)的三角傅里叶级数包含相同频率的正弦和余弦项。即， $$\mathrm{x(t)=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\:cos\:n\omega_{0} t+b_{n}\:sin\:n\omega_{0} t… (1)}$$ 其中， $$\mathrm{a_{0}=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}x(t)\:dt}$$ $$\mathrm{a_{n}=\frac{2}{T}\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}x(t)\:cos\:n\omega_{0} t\:dt}$$ $$\mathrm{b_{n}=\frac{2}{T}\int_{t_{0}}^{(t_{0}+T)}x(t)\:sin\:n\omega_{0} t\:dt}$$ 在公式(1)中，通过用($\sqrt{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}$)乘以正弦和余弦项的分子和分母，我们得到， $$\mathrm{x(t)=a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}\left( \sqrt{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}\right)\left( \frac{a_{n}}{\sqrt{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}}cos\:n\omega_{0} t+\frac{b_{n}}{\sqrt{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}}sin\:n\omega_{0} t\right)… (2)}$$ 将公式(2)中的值设置为： $$\mathrm{a_{0}=A_{0}}$$ $$\mathrm{\sqrt{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}=A_{n}… (3)}$$ $$\mathrm{\frac{a_{n}}{\sqrt{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}}=cos\:\theta_{n}\:\:and\:\:\frac{b_{n}}{\sqrt{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}}=-sin\:\theta_{n}}$$ 我们得到， $$\mathrm{x(t)=A_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}(cos\:\theta_{n}\:cos\:n\omega_{0} t-sin\:\theta_{n}\:sin\:n\omega_{0} t)}$$ $$\mathrm{\Rightarrow\:x(t)=A_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}\:cos(n\omega_{0} t+\theta_{n})… (4)}$$ 其中， $$\mathrm{\theta_{n}=-tan^{-1} \left(\frac{b_{n}}{a_{n}}\right)… (5)}$$ ... 阅读更多

四分之一波对称性具有奇对称性或偶对称性以及半波对称性的周期函数$x(t)$被称为具有四分之一波对称性。数学上，如果周期函数$x(t)$满足以下条件，则称其具有四分之一波对称性： $$\mathrm{x(t)=x(-t)\:or\:x(t)=-x(-t)\:and\:x(t)=-x\left (t ± \frac{T}{2}\right )}$$ 图1显示了一些具有四分之一波对称性的周期函数的示例。具有四分之一波对称性的函数的傅里叶级数系数计算如下：情况一 - 当n为奇数时 $$\mathrm{x(t)=-x(-t)\:and\:x(t)=-x\left (t ± \frac{T}{2}\right )}$$ 对于这种情况， $$\mathrm{a_{0}=0\:\:and\:\:a_{n}=0}$$ 并且， $$\mathrm{b_{n}=\frac{8}{T} \int_{0}^{T/4}x(t)\:sin\:n\omega_{0}\:t\:dt}$$ 情况二 - 当n为偶数时$$\mathrm{x(t)=x(-t)\:and\:x(t)=-x\left (t ± \frac{T}{2}\right ... 阅读更多