傅里叶级数考虑一个周期信号 𝑔(𝑡) 以周期 T 为周期，则函数 𝑔(𝑡) 的傅里叶级数定义为， $$\mathrm{g(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_{n}e^{jn\omega_{0}t}\:\:\:\:....(1)}$$其中，𝐶𝑛 是傅里叶级数系数，由下式给出， $$\mathrm{C_{n}=\frac{1}{T}\int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}g(t)e^{-jn\omega_{0}t}dt\:\:\:\:....(2)}$$从傅里叶级数推导傅里叶变换设 𝑥(𝑡) 为非周期信号，并且 𝑥(𝑡) 和 𝑔(𝑡) 之间的关系由下式给出， $$\mathrm{X(t)=\lim_{T\rightarrow \infty}g(t)\:\:\:\:.....(3)}$$其中，T 是周期信号 𝑔(𝑡) 的周期。通过重新排列等式 (2)，我们得到， $$\mathrm{TC_n=\int_{\frac{-T}{2}}^{\frac{T}{2}}g(t)e^{-jn\omega_{0}t}dt}$$项 𝐶𝑛 表示频率 nω0 分量的幅度。设 nω0 = ω 在 𝑇 → ∞ 时。然后，我们有， $$\mathrm{\omega_0=\frac{2\pi}{t}|_{T\rightarrow \infty}\rightarrow 0}$$因此，离散的 ... 阅读更多

傅里叶变换连续时间函数 𝑥(𝑡) 的傅里叶变换可以定义为， $$\mathrm{X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt}$$傅里叶变换的卷积性质陈述 - 两个信号在时域中的卷积等效于它们在频域中的频谱的乘积。因此，如果$$\mathrm{x_1(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X_1(\omega)\:and\:x_2(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X_2(\omega)}$$那么，根据傅里叶变换的时域卷积性质， $$\mathrm{x_1(t)*x_2(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X_1(\omega)*X_2(\omega)}$$证明两个连续时间信号 𝑥1(𝑡) 和 𝑥2(𝑡) 的卷积定义为， $$\mathrm{x_1(t)*x_2(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x_1(\tau)x_2(t-\tau)d\tau}$$现在，根据傅里叶变换的定义，我们有， $$\mathrm{X(\omega)=F[x_1(t)*x_2(t)]=\int_{-\infty}^{\infty}[x_1(t)*x_2(t)]e^{-j \omega t}dt}$$$$\mathrm{\Rightarrow F[x_1(t)*x_2(t)]=\int_{-\infty}^{\infty}[\int_{-\infty}^{\infty}x_1(\tau)x_2(t-\tau)d\tau]e^{-j \omega t}dt }$$通过交换积分顺序，我们得到， $$\mathrm{\Rightarrow F[x_1(t)*x_2(t)]=\int_{-\infty}^{\infty}x_1(\tau)[\int_{-\infty}^{\infty}x_{2}(t-\tau)e^{-j \omega t}dt]d\tau }$$通过在第二个积分中替换 (𝑡 − 𝜏) = 𝑢，... 阅读更多

傅里叶级数如果 𝑥(𝑡) 是一个周期为 T 的周期函数，则该函数的连续时间傅里叶级数定义为， $$\mathrm{x(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}C_ne^{jn\omega_{0}t}\:\:\:\:\:.....(1)}$$其中，𝐶𝑛 是指数傅里叶级数系数，由下式给出$$\mathrm{C_n=\frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T}x(t)e^{-jn\omega_0t}dt\:\:\:\:\:.....(2)}$$傅里叶级数的卷积性质根据卷积性质，两个函数 𝑥1(𝑡) 和 𝑥2(𝑡) 在时域中卷积的傅里叶级数等于它们在频域中傅里叶级数系数的乘积。如果 𝑥1(𝑡) 和 𝑥2(𝑡) 是两个周期为 T 且傅里叶级数系数分别为 𝐶𝑛 和 𝐷𝑛 的周期函数。然后，如果$$\mathrm{x_1(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_n}$$$$\mathrm{x_2(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}D_n}$$然后，连续时间傅里叶级数的卷积性质指出$$\mathrm{x_1(t)*x_2(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}TC_nD_n}$$证明通过 ... 阅读更多

傅里叶变换对于连续时间函数 x(t)，x(t) 的傅里叶变换可以定义为， $$\mathrm{X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt}$$傅里叶变换的共轭性质陈述 - 傅里叶变换的共轭性质指出，函数 x(t) 在时域中的共轭导致其傅里叶变换在频域中的共轭，并且 ω 被替换为 (−ω)，即，如果$$\mathrm{x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X(\omega)}$$那么，根据傅里叶变换的共轭性质， $$\mathrm{x^*(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X^*(-\omega)}$$证明根据傅里叶变换的定义，我们有$$\mathrm{X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt}$$在两边取共轭，我们得到$$\mathrm{X^*(\omega)=[\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt]^*}$$$$\mathrm{\Rightarrow X^*(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x^*(t)e^{j\omega t}dt}$$现在，通过将 (ω) 替换为 (−ω)，我们得到， $$\mathrm{X^*(-\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x^*(t)e^{-j\omega t}dt=F[x^*(t)]}$$$$\mathrm{\therefore F[x^*(t)]=X^*(-\omega)}$$或者，它也可以表示为， $$\mathrm{x^*(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X^*(-\omega)}$$自相关性质 ... 阅读更多

指数傅里叶级数周期信号在一定时间间隔内表示为正交函数的线性组合。如果这些正交函数是指数函数，则函数的傅里叶级数表示称为指数傅里叶级数。指数傅里叶级数是傅里叶级数最广泛使用的形式。在这种表示中，周期函数 x(t) 表示为复指数函数的加权和。复指数傅里叶级数是傅里叶级数的便捷和紧凑形式，因此，它在通信理论中得到了广泛的应用。解释设一组复数 ... 阅读更多

当在电阻 R Ω 上施加 V 伏特的电压时，电流 I 流过它。电阻中耗散的功率由下式给出， $$\mathrm{P=I^2R=\frac{V^2}{R}\:\:\:\:\:\:....(1)}$$但是当电压和电流信号不恒定时，功率在每个时刻都会发生变化，瞬时功率的方程由下式给出， $$\mathrm{P=i^2(t)R=\frac{V^2(t)}{R}\:\:\:\:\:\:....(2)}$$其中，𝑖(𝑡) 和 𝑣(𝑡) 分别是电流和电压的相应瞬时值现在，如果电阻 (R) 的值为 1 Ω，则瞬时功率可以表示为， $$\mathrm{p=i^2(t)=v^2(t)\:\:\:\:\:\:....(3)}$$因此，信号 x(t) 的瞬时功率可以给出 ... 阅读更多

傅里叶变换对于连续时间函数 x(t)，x(t) 的傅里叶变换可以定义为$$\mathrm{X(\omega)= \int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt}$$连续时间傅里叶变换的对偶性陈述 - 如果一个函数 x(t) 具有傅里叶变换 X(ω)，并且我们在时域中形成一个具有傅里叶变换函数形式为 X(t) 的新函数，则它将具有傅里叶变换 X(ω)，其函数形式为原始时间函数，但它是频率的函数。在数学上，CTFT 的对偶性指出，如果$$\mathrm{x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X(\omega)}$$那么，根据对偶性， $$\mathrm{X(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}2\pi x(-\omega)}$$证明根据傅里叶逆变换的定义，我们有$$\mathrm{x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)e^{j\omega t}d\omega }$$$$\mathrm{\Rightarrow 2\pi.x(t)=\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)e^{j\omega ... 阅读更多

周期信号的傅里叶级数表示具有各种重要的性质，这些性质在将信号从一种形式转换为另一种形式的过程中用于各种目的。考虑两个周期为 T 且傅里叶级数系数分别为 𝐶𝑛 和 𝐷𝑛 的周期信号 𝑥1(𝑡) 和 𝑥2(𝑡)。在这个假设下，让我们继续并检查连续时间傅里叶级数的各种性质。线性性质连续时间傅里叶级数的线性性质指出，如果$$\mathrm{x_{1}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{n}\: and\:x_{2}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}D_{n}}$$那么$$\mathrm{Ax_{1}(t)+Bx_{2}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}AC_{n}+BD_{n}}$$时间平移性质傅里叶级数的时间缩放性质指出，如果$$\mathrm{x(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{n}}$$那么$$\mathrm{x(t-t_{0})\overset{FS}{\leftrightarrow}e^{-jn\omega_{0}t_{0}}C_{n}}$$时间缩放性质傅里叶级数的时间缩放性质指出，如果$$\mathrm{x(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{n}}$$那么$$\mathrm{x(at)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{n}\:with\:\omega_{0}\rightarrow a\omega_{0}}$$时间 ... 阅读更多

波形对称性的重要性如果一个周期信号𝑥(𝑡)具有一定的对称性，那么一些三角傅里叶级数系数可能会变为零，从而简化系数的计算。偶对称或镜像对称当一个周期函数关于垂直轴对称时，就称其具有偶对称性或镜像对称性。偶对称性也称为反射对称性。在数学上，如果周期函数x(t)满足以下条件，则称其具有偶对称性：$$\mathrm{𝑥(𝑡) = 𝑥(−𝑡)\:\:\:\:\:\: ...(1)}$$图中显示了一些具有偶对称性的函数示例。偶函数始终关于垂直轴对称。解释如... 阅读更多

傅里叶变换傅里叶变换是一种变换技术，它将信号从连续时间域变换到相应的频域，反之亦然。连续时间函数$x(t)$的傅里叶变换定义为：$$\mathrm{X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-j\omega t}dt… (1)}$$傅里叶逆变换连续时间函数的傅里叶逆变换定义为：$$\mathrm{x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)\:e^{j\omega t}d\omega… (2)}$$公式(1)和(2)用于$X(\omega)$和$x(t)$被称为傅里叶变换对，可以表示为：$$\mathrm{X(\omega)=F[x(t)]}$$以及$$\mathrm{x(t)=F^{-1}[X(\omega)]}$$傅里叶变换对表函数，x(t)傅里叶变换，X(ω)$\delta(t)$1$\delta(t-t_{0})$$e^{-j \omega t_{0}}$1$2\pi \delta(\omega)$u(t)$\pi\delta(\omega)+\frac{1}{j\omega}$$\sum_{n=−\infty}^{\infty}\delta(t-nT)$$\omega_{0}\sum_{n=−\infty}^{\infty}\delta(\omega-n\omega_{0});\:\:\left(\omega_{0}=\frac{2\pi}{T} \right)$sgn(t)$\frac{2}{j\omega}$$ e^{j\omega_{0}t}$$ 2\pi\delta(\omega-\omega_{0})$$ cos\:\omega_{0}t$$\pi[\delta(\omega-\omega_{0})+\delta(\omega+\omega_{0})]$$sin\:\omega_{0}t$$-j\pi[\delta(\omega-\omega_{0})-\delta(\omega+\omega_{0})]$$e^{-at}u(t);\:\:\:a >0$$\frac{1}{a+j\omega}$$t\:e^{at}u(t);\:\:\:a >0$$\frac{1}{(a+j\omega)^{2}}$$e^{-|at|};\:\:a >0$$\frac{2a}{a^{2}+\omega^{2}}$$e^{-|t|}$$\frac{2}{1+\omega^{2}}$$\frac{1}{\pi t}$$-j\:sgn(\omega)$$\frac{1}{a^{2}+t^{2}}$$\frac{\pi}{a}e^{-a|\omega|}$$\Pi (\frac{t}{τ})$$τ\:sin c(\frac{\omega τ}{2})$$\Delta(\frac{t}{τ})$$\frac{τ}{2}sin C^{2}(\frac{\omega τ}{4})$$\frac{sin\:at}{\pi t}$$P_{a}(\omega)=\begin{cases}1 & for\:|\omega|\:< a\0 & for\:|\omega|\: > a ... 阅读更多