三角傅里叶级数 一个周期函数可以在一定的时间区间内表示为正交函数的线性组合。如果这些正交函数是三角函数，则称为三角傅里叶级数。数学上，周期信号的标准三角傅里叶级数展开式为： $$\mathrm{x(t)=a_{0}+ \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\:cos\:\omega_{0}nt+b_{n}\:sin\:\omega_{0}nt\:\:… (1)}$$ 指数傅里叶级数 一个周期函数可以在一定的时间区间内表示为正交函数的线性组合，如果这些正交函数是指数函数，则称为指数傅里叶级数。数学上，周期... 阅读更多

傅里叶变换 连续时间函数 $x(t)$ 的傅里叶变换定义为： $$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt}$$ 逆傅里叶变换 连续时间函数的逆傅里叶变换定义为： $$\mathrm{x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{−\infty}^{\infty}X(\omega)e^{j\omega t}d\omega}$$ 傅里叶变换的性质 连续时间傅里叶变换 (CTFT) 具有许多重要的性质。这些性质可用于推导傅里叶变换对，也可用于推导一般的频域关系。这些性质也有助于找到各种时域运算对频域的影响。连续时间傅里叶变换的一些重要性质在表中给出如下：CTFT 的性质时域 x(t)频域 X(ω)线性性质$ax_{1}(t)+bx_{2}(t)$$aX_{1}(\omega)+bX_{2}(\omega)$时间位移... 阅读更多

傅里叶级数 如果 $x(t)$ 是一个周期为 $T$ 的周期函数，则该函数的连续时间指数傅里叶级数定义为： $$\mathrm{x(t)=\sum_{n=−\infty}^{\infty}C_{n}\:e^{jn\omega_{0} t}\:\:… (1)}$$ 其中，$C_{n}$ 是指数傅里叶级数系数，由下式给出： $$\mathrm{C_{n}=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}x(t)e^{-jn\omega_{0} t}dt\:\:… (2)}$$ 调制或乘法性质 令 $x_{1}(t)$ 和 $x_{2}(t)$ 为两个周期为 $T$ 的周期信号，其傅里叶级数系数分别为 $C_{n}$ 和 $D_{n}$。如果 $$\mathrm{x_{1}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{n}}$$ $$\mathrm{x_{2}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}D_{n}}$$ 则连续时间傅里叶级数的调制或乘法性质指出： $$\mathrm{x_{1}(t)\cdot x_{2}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}\sum_{k=−\infty}^{\infty}C_{k}\:D_{n-k}}$$ 证明 从连续时间傅里叶级数的定义，我们得到： $$\mathrm{FS[x_{1}(t)\cdot x_{2}(t)]=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}[x_{1}(t)\cdot x_{2}(t)]e^{-jn\omega_{0} t}dt}$$ $$\mathrm{\Rightarrow\:FS[x_{1}(t)\cdot x_{2}(t)]=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}x_{1}(t)\left (\sum_{k=−\infty}^{\infty} C_{k} e^{jk\omega_{0} t}\right )e^{-jn\omega_{0} t}dt}$$ $$\mathrm{\Rightarrow\:FS[x_{1}(t)\cdot x_{2}(t)]=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}x_{1}(t)\left (\sum_{k=−\infty}^{\infty} C_{k} e^{-j(n-k)\omega_{0} t}\right )e^{-jn\omega_{0} ... 阅读更多

傅里叶变换 连续时间函数 $x(t)$ 的傅里叶变换可以定义为： $$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt}$$ 傅里叶变换的调制性质 陈述 - 连续时间傅里叶变换的调制性质指出，如果连续时间函数 $x(t)$ 乘以 $cos \:\omega_{0} t$，则其频谱在频率上向上和向下平移 $\omega_{0}$。因此，如果 $$\mathrm{x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X(\omega)}$$ 那么，根据 CTFT 的调制性质， $$\mathrm{x(t)\:cos\:\omega_{0}t\overset{FT}{\leftrightarrow}\frac{1}{2}[X(\omega-\omega_{0})+X(\omega+\omega_{0})]}$$ 证明 使用欧拉公式，我们得到： $$\mathrm{cos\:\omega_{0}t=\left [\frac{e^{j\omega_{0} t}+e^{-j\omega_{0} t}}{2} \right ]}$$ 因此， $$\mathrm{x(t)\:cos\:\omega_{0}t=x(t)\left [ \frac{e^{j\omega_{0} t}+e^{-j\omega_{0} t}}{2}\right ]}$$ 现在，从傅里叶变换的定义，我们有： $$\mathrm{F[x(t)]=X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega_{0} t} \:dt}$$ $$\mathrm{\Rightarrow\:F[x(t)\:cos\:\omega_{0} t]=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)\:cos\:\omega_{0} t\:e^{-j\omega_{0} t}dt}$$ $$\mathrm{\Rightarrow\:F[x(t)\:cos\:\omega_{0} t]=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)\left [ \frac{e^{j\omega_{0} t}+e^{-j\omega_{0} t}}{2}\right ]e^{-j\omega t}dt}$$ $$\mathrm{\Rightarrow\:F[x(t)\:cos\:\omega_{0} ... 阅读更多

傅里叶变换 对于连续时间函数 $x(t)$，傅里叶变换可以定义为： $$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt}$$ 傅里叶变换的线性性质 陈述 - 傅里叶变换的线性性质指出，两个信号的加权和的傅里叶变换等于它们各自傅里叶变换的加权和。因此，如果 $$\mathrm{x_{1}(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X_{1}(\omega)\:\:and\:\:x_{2}\overset{FT}{\leftrightarrow}X_{2}(\omega)}$$ 那么，根据傅里叶变换的线性性质， $$\mathrm{ax_{1}(t)+bx_{2}(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}aX_{1}(\omega)+bX_{2}(\omega)}$$ 其中，a 和 b 是常数。证明 从傅里叶变换的定义，我们有： $$\mathrm{F[x(t)]=X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}x(t)e^{-j \omega t}dt}$$ $$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=F[ax_{1}(t)+bx_{2}(t)]=\int_{−\infty}^{\infty}[ax_{1}(t)+bx_{2}(t)]e^{-j \omega t}dt}$$ $$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\int_{−\infty}^{\infty}ax_{1}(t)e^{-j \omega t} dt+\int_{−\infty}^{\infty}bx_{2}(t)e^{-j \omega t}dt}$$ $$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=a\int_{−\infty}^{\infty}x_{1}(t)e^{-j \omega t} dt+b\int_{−\infty}^{\infty}x_{2}(t)e^{-j \omega t}dt}$$ $$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=aX_{1}(\omega)+bX_{2}(\omega)}$$ $$\mathrm{\therefore\:F[ax_{1}(t)+bx_{2}(t)]=aX_{1}(\omega)+bX_{2}(\omega)}$$ 或者，它也可以写成： $$\mathrm{ax_{1}(t)+bx_{2}(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}aX_{1}(\omega)+bX_{2}(\omega)}$$ 傅里叶变换的频移性质 陈述 - ... 阅读更多

傅里叶级数 如果 $x(t)$ 是一个周期为 $T$ 的周期函数，则该函数的连续时间指数傅里叶级数定义为： $$\mathrm{x(t)=\displaystyle\sum\limits_{n=−\infty}^\infty\:C_{n}\:e^{jn\omega_{0}t}\:\:\:… (1)}$$ 其中，$C_{n}$ 是指数傅里叶级数系数，由下式给出： $$\mathrm{C_{n}=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}X(t)e^{-jn\omega_{0}t}\:dt\:\:… (2)}$$ 连续时间傅里叶级数的线性性质 考虑两个周期为 T，傅里叶级数系数分别为 $C_{n}$ 和 $D_{n}$ 的周期信号 $x_{1}(t)$ 和 $x_{2}(t)$。如果 $$\mathrm{x_{1}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}C_{n}}$$ $$\mathrm{x_{2}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}D_{n}}$$ 则连续时间傅里叶级数的线性性质指出： $$\mathrm{Ax_{1}(t)+Bx_{2}(t)\overset{FS}{\leftrightarrow}AC_{n}+BD_{n}}$$ 证明 根据周期函数的傅里叶级数定义，我们得到： $$\mathrm{FS[Ax_{1}(t)+Bx_{2}(t)]=\frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}[Ax_{1}(t)+Bx_{2}(t)]e^{-jn\omega_{0}t}\:dt}$$ $$\mathrm{\Rightarrow\:FS[Ax_{1}(t)+Bx_{2}(t)]=A\left ( \frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}\:x_{1}(t)\:e^{-jn\omega_{0}t}\:dt\right )+B\left ( \frac{1}{T}\int_{t_{0}}^{t_{0}+T}\:x_{2}(t)\:e^{-jn\omega_{0}t}\:dt \right )\:\:… (3)}$$ 比较公式 (2) & (3)，... 阅读更多

什么是吉布斯现象？ 吉布斯现象是由亨利·威尔布拉姆于 1848 年发现，然后由 J·威拉德·吉布斯于 1899 年重新发现的。对于具有不连续性的周期信号，如果通过添加傅里叶级数来重建信号，则在边缘周围会出现过冲。这些过冲以阻尼振荡的方式从边缘向外衰减。这被称为吉布斯现象，如下图所示。不连续处的过冲量与不连续的高度成正比，根据吉布斯的说法，它被发现大约是不连续高度的 9%，而与... 阅读更多

傅里叶变换连续时间函数的傅里叶变换可以定义为： $$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty }^{\infty}\:X(t)e^{-j\omega t}\:dt}$$ 傅里叶变换的频域微分特性陈述 - 傅里叶变换的频域微分特性指出，乘以时间域中的函数 X(t) 等效于对其在频域中的傅里叶变换进行微分。因此，如果 $$\mathrm{X(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}X(\omega)}$$ 那么，根据频域微分特性， $$\mathrm{t\cdot x(t)\overset{FT}{\leftrightarrow}j\frac{d}{d\omega}X(\omega)}$$ 证明根据傅里叶变换的定义，我们有： $$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty }^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}\:dt}$$ 对上述等式两边关于 ω 求导，我们得到： $$\mathrm{\frac{d}{d\omega}X(\omega)=\frac{d}{d\omega}\left [ \int_{−\infty }^{\infty}x(t)e^{-j\omega t}\:dt \right ]}$$ $$\mathrm{\Rightarrow\:\frac{d}{d\omega}X(\omega)=\int_{−\infty }^{\infty} x(t)\frac{d}{d\omega}\left [e^{-j\omega t} \right ]dt}$$ $$\mathrm{\Rightarrow\:\frac{d}{d\omega}X(\omega)=\int_{−\infty }^{\infty} x(t)(-jt)e^{-j\omega ... 阅读更多

傅里叶变换对于连续时间函数 $x(t)$，傅里叶变换定义为： $$\mathrm{X(\omega)=\int_{−\infty }^{\infty}x(t)e^{−j\omega t}\:dt}$$ 单位阶跃函数的傅里叶变换单位阶跃函数定义为： $$\mathrm{u(t)=\begin{cases}1 & for\:t≥ 0\0 & for\:t< 0\end{cases}}$$ 因为单位阶跃函数不是绝对可积的，因此不能直接求其傅里叶变换。为了求单位阶跃函数的傅里叶变换，我们将单位阶跃函数表示为符号函数的形式： $$\mathrm{u(t)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}sgn(t)=\frac{1}{2}[1+sgn(t)]}$$ 已知 $$\mathrm{x(t)=u(t)=\frac{1}{2}[1+sgn(t)]}$$ 现在，根据傅里叶变换的定义，我们有： $$\mathrm{F[u(t)]=X(\omega)=\int_{−\infty }^{\infty}x(t)e^{-j\omega t} dt=\int_{−\infty }^{\infty} u(t)e^{-j\omega t} dt}$$ $$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\int_{−\infty }^{\infty} \frac{1}{2}[1+sgn(t)]e^{-j\omega t}dt}$$ $$\mathrm{\Rightarrow\:X(\omega)=\frac{1}{2}\left [ \int_{−\infty }^{\infty} 1 \cdot e^{-j\omega t} dt ... 阅读更多

均方误差 (MSE) 定义为实际值和估计值之差的平方的平均值或平均数。数学上，均方误差为： $$\mathrm{\varepsilon =\frac{1}{t_{2}-t_{1}}\int_{t_{1}}^{t_{2}}\left [ x(t) -\sum_{r=1}^{n}C_{r}g_{r}(t)\right ]^{2}dt}$$ $$\mathrm{\varepsilon =\frac{1}{t_{2}-t_{1}}\left [ \int_{t_{1}}^{t_{2}}x^{2}(t)dt+\sum_{r=1}^{n}C_{r}^{2}\int_{t_{1}}^{t_{2}}g_{r}^{2}(t)dt-2\sum_{r=1}^{n}C_{r}\int_{t_{1}}^{t_{2}}x(t)g_{r}(t)dt\right ]\; ...(1)}$$ $$\mathrm{\therefore C_{r}=\frac{\int_{t_{1}}^{t_{2}}x(t)g_{r}(t)dt}{\int_{t_{1}}^{t_{2}}g_{r}^{2}(t)dt}=\frac{1}{K_{r}}\int_{t_{1}}^{t_{2}}x(t)g_{r}(t)dt\; \; ...(2)}$$ $$\mathrm{\therefore \int_{t_{1}}^{t_{2}}x(t)g_{r}(t)dt=C_{r}\int_{t_{1}}^{t_{2}}g_{r}^{2}(t)dt=C_{r}K_{r}\; \; ...(3)}$$ 使用公式 (1) 和 (3)，我们有： $$\mathrm{\varepsilon =\frac{1}{t_{2}-t_{1}}\left [\int_{t_{1}}^{t_{2}} x^{2}(t)dt +\sum_{r=1}^{n}C^{2}_{r}K_{r}-2\sum_{r=1}^{n}C^{2}_{r}K_{r}\right ]}$$ $$\mathrm{\Rightarrow \varepsilon =\frac{1}{t_{2}-t_{1}}\left [\int_{t_{1}}^{t_{2}} x^{2}(t)dt -\sum_{r=1}^{n}C^{2}_{r}K_{r}\right ]\; \; ...(4)}$$ $$\mathrm{\Rightarrow \varepsilon =\frac{1}{t_{2}-t_{1}}\left [ \int_{t_{1}}^{t_{2}}x^{2}(t)dt-(C_{1}^{2}K_{1}+C_{2}^{2}K_{2}+\cdot \cdot \cdot +C_{n}^{2}K_{n}) \right ]\; \; \cdot \cdot \cdot (5)}$$ 因此，可以使用公式 (5) 计算均方误差。数值例子矩形函数定义为：$$\mathrm{x(t)=\left\{\begin{matrix} 1\; \; for\, 0< t< ... 阅读更多