文氏图，由约翰·文恩于 1880 年发明，是一种示意图，显示不同数学集合之间所有可能的逻辑关系。示例集合运算集合运算包括集合并集、集合交集、集合差集、集合补集和笛卡尔积。集合并集集合 A 和 B 的并集（用 A ∪ B 表示）是属于 A、属于 B 或同时属于 A 和 B 的元素的集合。因此，A ∪ B = { x | x ∈ A 或 x ∈ B }。示例 - 如果 A = { 10, 11, 12, 13 } 并且 B = { 13, 14, 15 }, ... 阅读更多

为了从我们已经知道其真值的语句中推导出新的语句，使用推理规则。谓词演算的推理规则有什么用？数学逻辑通常用于逻辑证明。证明是有效的论证，可以确定数学语句的真值。论证是一系列语句。最后一个语句是结论，所有在其之前的语句称为前提（或假设）。符号“∴”（读作因此）放在结论之前。有效的论证是指结论遵循前提真值的论证。推理规则为构建有效的…… 阅读更多

有根树有根树 G 是一个连通的无环图，它有一个特殊的节点，称为树的根，并且每条边都直接或间接地起源于根。有序有根树是有根树，其中每个内部顶点的子节点都是有序的。如果一个有根树的每个内部顶点最多有 m 个子节点，则称之为 m 叉树。如果一个有根树的每个内部顶点恰好有 m 个子节点，则称之为完全 m 叉树。如果 m = 2，则有根树称为二叉树。二叉…… 阅读更多

关系可以用有向图来表示。图中的顶点数等于定义关系的集合中的元素数。对于关系 R 中的每个有序对 (x, y)，将有一条从顶点“x”到顶点“y”的有向边。如果存在有序对 (x, x)，则顶点“x”上将有一个自环。例如，如果在集合 S = { 1, 2, 3 } 上存在一个关系 R = { (1, 1), (1,2), (3, 2) }，则可以用下图表示：

主要有两种表示图的方法：邻接矩阵邻接表邻接矩阵邻接矩阵 A[V][V] 是一个大小为 V × V 的二维数组，其中 $V$ 是无向图中顶点的数量。如果 Vx 和 Vy 之间存在边，则 A[Vx][Vy]=1 且 A[Vy][Vx]=1，否则值为零。对于有向图，如果 Vx 和 Vy 之间存在边，则 A[Vx][Vy]=1，否则值为零。无向图的邻接矩阵让我们考虑以下无向图并构建邻接矩阵：…… 阅读更多

集合之间可能存在关系，这些关系可能存在于同一集合的对象之间，也可能存在于两个或多个集合的对象之间。定义和属性从集合 x 到集合 y 的二元关系 R（写成 xRy 或 R(x, y)）是笛卡尔积 x × y 的子集。如果 G 的有序对反转，关系也会改变。通常，集合 A1、...、和 An 之间的 n 元关系 R 是 n 元积 A1 × ... × An 的子集。在这种情况下，关系 R 的最小基数为零，最大基数为 n2。集合上的二元关系 R…… 阅读更多

谓词演算处理谓词，谓词是包含变量的命题。谓词谓词是在某个特定域上定义的一个或多个变量的表达式。通过为变量赋值或对变量进行量化，可以将包含变量的谓词转换为命题。考虑以下语句。 राम एक छात्र है।现在考虑上述谓词演算中的语句。这里“是一个学生”是一个谓词，而 राम 是主语。让我们将“राम”表示为 x，将“是一个学生”表示为谓词 P，那么我们可以将上述语句写成 P(x)。通常，用谓词表达的语句必须在…… 阅读更多

集合 S 的幂集是包括空集在内的 S 的所有子集的集合。基数为 n 的集合 S 的幂集的基数为 2n。幂集表示为 P(S)。示例 - 对于集合 S = { a, b, c, d }，让我们计算子集 - 包含 0 个元素的子集 - { ∅ }（空集）包含 1 个元素的子集 - { a }，{ b }，{ c }，{ d }包含 2 个元素的子集 - { a, b }，{ a, c }，{ a, d }，{ b, ... 阅读更多

平面图 - 如果一个图 G 可以在一个平面上绘制而没有任何边交叉，则称之为平面图。如果我们在平面上绘制图而没有边交叉，则称之为将图嵌入平面。非平面图 - 如果一个图不能在一个平面上绘制而没有图的边交叉，则称之为非平面图。

如果一个图“G”可以绘制在一个平面或球体上，使得没有两条边在非顶点处交叉，则称该图是平面图。示例区域每个平面图都将平面划分为称为区域的连通区域。示例有界区域 r 的度数 = deg(r) = 包围区域 r 的边数。deg(1) = 3 deg(2) = 4 deg(3) = 4 deg(4) = 3 deg(5) = 8无界区域 r 的度数 = deg(r) = 包围区域 r 的边数。deg(R1) = 4 deg(R2) = 6在平面图中，以下性质成立：1. 在…… 阅读更多