交流电桥
本章我们将讨论交流电桥，它可以用来测量电感。交流电桥仅使用交流电压信号工作。交流电桥的电路图如下所示。
如上图所示，交流电桥主要由四个臂组成，它们以菱形或正方形连接。所有这些臂都包含一些阻抗。
为了找到未知阻抗的值，还需要检测器和交流电压源。因此，这两个中的一个放置在交流电桥的一个对角线上，另一个放置在交流电桥的另一个对角线上。惠斯通电桥的平衡条件为：
$$R_{4}=\frac{R_{2}R_{3}}{R_{1}}$$
只需在上述等式中用Z代替R，即可得到交流电桥的平衡条件。
$$Z_{4}=\frac{Z_{2}Z_{3}}{Z_{1}}$$
$\Rightarrow Z_{1}Z_{4}=Z_{2}Z_{3}$
这里，$Z_{1}$和$Z_{2}$是固定阻抗。而$Z_{3}$是标准可变阻抗，$Z_{4}$是未知阻抗。
注意 - 我们可以根据应用选择四个阻抗中的任意两个作为固定阻抗，一个阻抗作为标准可变阻抗，另一个阻抗作为未知阻抗。
以下是两个可以用来测量电感的交流电桥。
- 麦克斯韦电桥
- 海氏电桥
现在，让我们逐一讨论这两个交流电桥。
麦克斯韦电桥
麦克斯韦电桥是一个交流电桥，它有四个臂，以菱形或正方形的形式连接。该电桥的两个臂由单个电阻组成，一个臂由电阻和电感的串联组合组成，另一个臂由电阻和电容的并联组合组成。
使用交流检测器和交流电压源来查找未知阻抗的值。因此，这两个中的一个放置在麦克斯韦电桥的一个对角线上，另一个放置在麦克斯韦电桥的另一个对角线上。
麦克斯韦电桥用于测量中等电感的值。麦克斯韦电桥的电路图如下所示。
在上图电路中，AB、BC、CD和DA臂共同构成菱形或正方形。AB和CD臂分别由电阻$R_{2}$和$R_{3}$组成。BC臂由电阻$R_{4}$和电感$L_{4}$的串联组合组成。DA臂由电阻$R_{1}$和电容$C_{1}$的并联组合组成。
设$Z_{1}$、$Z_{2}$、$Z_{3}$和$Z_{4}$分别是DA、AB、CD和BC臂的阻抗。这些阻抗的值将是
$$Z_{1}=\frac{R_{1}\left ( \frac{1}{j\omega C_{1}} \right )}{R_{1}+\frac{1}{j\omega C_{1}}}$$
$$\Rightarrow Z_{1}=\frac{R_{1}}{1+j \omega R_{1}C_{1}}$$
$Z_{2}=R_{2}$
$Z_{3}=R_{3}$
$Z_{4}=R_{4}+j \omega L_{4}$
将这些阻抗值代入交流电桥的以下平衡条件。
$$Z_{4}=\frac{Z_{2}Z_{3}}{Z_{1}}$$
$$R_{4}+j\omega L_{4}=\frac{R_{2}R_{3}}{\left ( {\frac{R_{1}}{1+j \omega R_{1}C_{1}}} \right )}$$
$\Rightarrow R_{4}+j\omega L_{4}=\frac{R_{2}R_{3}\left (1+j \omega R_{1}C_{1} \right )}{R_{1}}$
$\Rightarrow R_{4}+j\omega L_{4}=\frac{R_{2}R_{3}}{R_{1}}+\frac{j \omega R_{1}C_{1}R_{2}R_{3}}{R_{1}}$
$\Rightarrow R_{4}+j\omega L_{4}=\frac{R_{2}R_{3}}{R_{1}}+j \omega C_{1}R_{2}R_{3}$
通过比较上述等式的相应实部和虚部项，我们将得到
$R_{4}=\frac{R_{2}R_{3}}{R_{1}}$公式1
$L_{4}=C_{1}R_{2}R_{3}$公式2
通过将电阻$R_{1}$、$R_{2}$和$R_{3}$的值代入公式1，我们将得到电阻$R_{4}$的值。同样，通过将电容$C_{1}$的值和电阻$R_{2}$和$R_{3}$的值代入公式2，我们将得到电感$L_{4}$的值。
麦克斯韦电桥的优点是电阻$R_{4}$和电感$L_{4}$的值都与频率无关。
海氏电桥
海氏电桥是麦克斯韦电桥的改进版本，它是通过修改麦克斯韦电桥中由电阻和电容的并联组合组成的臂为由电阻和电容的串联组合组成的臂而得到的。
海氏电桥用于测量大电感的值。海氏电桥的电路图如下所示。
在上图电路中，AB、BC、CD和DA臂共同构成菱形或正方形。AB和CD臂分别由电阻$R_{2}$和$R_{3}$组成。BC臂由电阻$R_{4}$和电感$L_{4}$的串联组合组成。DA臂由电阻$R_{1}$和电容$C_{1}$的串联组合组成。
设$Z_{1}$、$Z_{2}$、$Z_{3}$和$Z_{4}$分别是DA、AB、CD和BC臂的阻抗。这些阻抗的值将是
$$Z_{1}=R_{1}+\frac{1}{j \omega C_{1}}$$
$\Rightarrow Z_{1}=\frac{1+j \omega R_{1}C_{1}}{j \omega C_{1}}$
$Z_{2}=R_{2}$
$Z_{3}=R_{3}$
$Z_{4}=R_{4}+j \omega L_{4}$
将这些阻抗值代入交流电桥的以下平衡条件。
$$Z_{4}=\frac{Z_{2}Z_{3}}{Z_{1}}$$
$R_{4}+j \omega L_{4}=\frac{R_{2}R_{3}}{\left ( \frac{1+j \omega R_{1}C_{1}}{j \omega C_{1}}\right )}$
$R_{4}+j \omega L_{4}=\frac{R_{2}R_{3}j \omega C_{1}}{\left ( 1+j \omega R_{1}C_{1}\right )}$
将上述等式右边项的分子和分母都乘以$1 - j \omega R_{1}C_{1}$。
$\Rightarrow R_{4}+j \omega L_{4}=\frac{R_{2}R_{3}j \omega C_{1}}{\left ( 1+j \omega R_{1}C_{1}\right )}\times \frac{\left (1 - j \omega R_{1}C_{1} \right )}{\left (1 - j \omega R_{1}C_{1} \right )}$
$\Rightarrow R_{4}+j \omega L_{4}=\frac{\omega^{2}{C_{1}}^{2}R_{1}R_{2}R_{3}+j \omega R_{2}R_{3}C_{1}}{\left ( 1+\omega^{2}{R_{1}}^{2}{C_{1}}^{2}\right )}$
通过比较上述等式的相应实部和虚部项，我们将得到
$R_{4}= \frac{\omega^{2}{C_{1}}^{2}R_{1}R_{2}R_{3}}{\left ( 1+\omega^{2}{R_{1}}^{2}{C_{1}}^{2}\right )}$公式3
$L_{4}= \frac{R_{2}R_{3}C_{1}}{\left ( 1+\omega^{2}{R_{1}}^{2}{C_{1}}^{2}\right )}$公式4
通过将$R_{1}$、$R_{2}$、$R_{3}$、$C_{1}$和$\omega$的值代入公式3和公式4，我们将得到电阻$R_{4}$和电感$L_{4}$的值。