其他交流电桥
在上一章中，我们讨论了两种可用于测量电感的交流电桥。在本章中，让我们讨论以下两种交流电桥。
- Schering电桥
- 维恩电桥
这两种电桥分别可用于测量电容和频率。
Schering电桥
Schering电桥是一种具有四个臂的交流电桥，这些臂以菱形或正方形的形式连接，其中一个臂由一个电阻组成，一个臂由电阻和电容的串联组合组成，一个臂由一个电容组成，另一个臂由电阻和电容的并联组合组成。
交流检测器和交流电压源也用于查找未知阻抗的值，因此其中一个放置在Schering电桥的一条对角线上，另一个放置在Schering电桥的另一条对角线上。
Schering电桥用于测量电容的值。Schering电桥的电路图如下所示。
在上图电路中，AB、BC、CD和DA臂共同构成一个菱形或正方形。AB臂由一个电阻$R_{2}$组成。BC臂由一个电阻$R_{4}$和一个电容$C_{4}$的串联组合组成。CD臂由一个电容$C_{3}$组成。DA臂由一个电阻$R_{1}$和一个电容$C_{1}$的并联组合组成。
设$Z_{1}$、$Z_{2}$、$Z_{3}$和$Z_{4}$分别是DA、AB、CD和BC臂的阻抗。这些阻抗的值将为
$Z_{1}=\frac{R_{1}\left ( \frac{1}{j \omega C_{1}} \right )}{R_{1}+\frac{1}{j \omega C_{1}}}$
$\Rightarrow Z_{1}=\frac{R_{1}}{1+j \omega R_{1}C_{1}}$
$Z_{2}=R_{2}$
$Z_{3}=\frac{1}{j \omega C_{3}}$
$Z_{4}=R_{4}+\frac{1}{j \omega C_{4}}$
$\Rightarrow Z_{4}=\frac{1+j \omega R_{4}C_{4}}{j \omega C_{4}}$
代入这些阻抗值到以下交流电桥的平衡条件中。
$$Z_{4}=\frac{Z_{2}Z_{3}}{Z_{1}}$$
$$\frac{1+j \omega R_{4}C_{4}}{j \omega C_{4}}=\frac{R_{2}\left (\frac{1}{j \omega C_{3}} \right )}{\frac{R_{1}}{1+j \omega R_{1}C_{1}}}$$
$\Rightarrow \frac{1+j \omega R_{4}C_{4}}{j \omega C_{4}}=\frac{R_{2}\left ( 1+j \omega R_{1}C_{1} \right )}{j \omega R_{1}C_{3}}$
$\Rightarrow \frac{1+j \omega R_{4}C_{4}}{C_{4}}=\frac{R_{2}\left ( 1+j \omega R_{1}C_{1} \right )}{R_{1}C_{3}}$
$\Rightarrow \frac{1}{C_{4}}+j \omega R_{4}=\frac{R_{2}}{R_{1}C_{3}}+\frac{j\omega C_{1}R_{2}}{C_{3}}$
通过比较上述方程中相应的实部和虚部项，我们将得到
$C_{4}=\frac{R_{1}C_{3}}{R_{2}}$公式1
$R_{4}=\frac{C_{1}R_{2}}{C_{3}}$公式2
通过将$R_{1}$、$R_{2}$和$C_{3}$的值代入公式1，我们将得到电容$C_{4}$的值。类似地，通过将$R_{2}$、$C_{1}$和$C_{3}$的值代入公式2，我们将得到电阻$R_{4}$的值。
Schering电桥的优点是电阻$R_{4}$和电容$C_{4}$的值都与频率值无关。
维恩电桥
维恩电桥是一种具有四个臂的交流电桥，这些臂以菱形或正方形的形式连接。其中两个臂由一个电阻组成，一个臂由电阻和电容的并联组合组成，另一个臂由电阻和电容的串联组合组成。
为了找到频率的值，还需要交流检测器和交流电压源。因此，这两个中的一个放置在维恩电桥的一条对角线上，另一个放置在维恩电桥的另一条对角线上。
电路图如下所示。
在上图电路中，AB、BC、CD和DA臂共同构成一个菱形或正方形。AB和BC臂分别由电阻$R_{2}$和$R_{4}$组成。CD臂由一个电阻$R_{3}$和一个电容$C_{3}$的并联组合组成。DA臂由一个电阻$R_{1}$和一个电容$C_{1}$的串联组合组成。
设$Z_{1}$、$Z_{2}$、$Z_{3}$和$Z_{4}$分别是DA、AB、CD和BC臂的阻抗。这些阻抗的值将为
$$Z_{1}=R_{1}+\frac{1}{j \omega C_{1}}$$
$$\Rightarrow Z_{1}=\frac{1+j \omega R_{1}C_{1}}{j \omega C_{1}}$$
$Z_{2}=R_{2}$
$$Z_{3}=\frac{R_{3}\left (\frac{1}{j \omega C_{3}} \right )}{R_{3}+\frac{1}{j \omega C_{3}}}$$
$$\Rightarrow Z_{3}= \frac{R_{3}}{1+j \omega R_{3}C_{3}}$$
$Z_{4}=R_{4}$
代入这些阻抗值到以下交流电桥的平衡条件中。
$$Z_{1}Z_{4}=Z_{2}Z_{3}$$
$$\left (\frac{1+j \omega R_{1}C_{1}}{j \omega C_{1}} \right )R_{4}=R_{2}\left (\frac{R_{3}}{1+j \omega R_{3}C_{3}} \right )$$
$\Rightarrow \left (1+j \omega R_{1}C_{1}\right )\left (1+j \omega R_{3}C_{3}\right )R_{4}=j \omega C_{1}R_{2}R_{3}$
$\Rightarrow \left (1+j \omega R_{3}C_{3}+j \omega R_{1}C_{1}-\omega^{2}R_{1}R_{3}C_{1}C_{3}\right )R_{4}=j \omega C_{1}R_{2}R_{3}$
$\Rightarrow R_{4}\left ( \omega^{2}R_{1}R_{3}C_{1}C_{3} \right )+j \omega R_{4}\left (R_{3}C_{3}+R_{1}C_{1} \right )=j \omega C_{1}R_{2}R_{3}$
使上述方程中相应的实部项相等。
$$R_{4}\left (1- \omega^{2}R_{1}R_{3}C_{1}C_{3} \right )=0$$
$\Rightarrow 1- \omega^{2}R_{1}R_{3}C_{1}C_{3} =0$
$\Rightarrow 1= \omega^{2}R_{1}R_{3}C_{1}C_{3}$
$\omega = \frac{1}{\sqrt{R_{1}R_{3}C_{1}C_{3}}}$
代入$\omega = 2 \pi f$到上述方程中。
$$\Rightarrow 2 \pi f= \frac{1}{\sqrt{R_{1}R_{3}C_{1}C_{3}}}$$
$\Rightarrow f= \frac{1}{2 \pi\sqrt{R_{1}R_{3}C_{1}C_{3}}}$
通过将$R_{1}$、$R_{3}$、$C_{1}$和$C_{3}$的值代入上述方程，我们可以找到交流电压源的频率$f$的值。
如果$R_{1}=R_{3}=R$且$C_{1}=C_{3}=C$，则我们可以使用以下公式找到交流电压源的频率$f$的值。
$$f=\frac{1}{2\pi RC}$$
维恩电桥主要用于查找AF范围的频率值。