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法律研究利用配方法因式分解下列每个二次多项式
(i) $a^2+2a-3$
(ii) $4x^2-12x+5$
已知
给定的二次多项式为
(i) $a^2+2a-3$
(ii) $4x^2-12x+5$
要求
我们必须对给定的二次多项式进行因式分解。
解答
代数表达式的因式分解
代数表达式的因式分解是指将表达式写成两个或多个因式的乘积。因式分解是分配律的逆运算。
当一个代数表达式写成质因数的乘积时，它就被完全因式分解了。
配方法是一种用于将二次表达式写成包含完全平方的形式的方法。
(i) 给定的表达式是 $a^2+2a-3$。
这里，
$a^2$ 的系数为 $1$
$a$ 的系数为 $2$
常数项为 $-3$
$a^2$ 的系数为 $1$。因此，我们可以通过添加和减去 $a$ 系数一半的平方来对给定表达式进行因式分解。
因此，
$a^2+2a-3=a^2+2a-3+1^2-1^2$ [因为 $\frac{1}{2}\times2=1$]
$a^2+2a-3=a^2+2a+1^2-3-1$
$a^2+2a-3=a^2+2(a)(1)+1^2-4$
$a^2+2a-3=(a+1)^2-4$ (配方法)
现在，
$(a+1)^2-4$ 可以写成，
$(a+1)^2-4=(a+1)^2-2^2$ [因为 $4=2^2$]
使用公式 $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，我们可以将给定表达式因式分解为，
$(a+1)^2-4=(a+1)^2-2^2$
$(a+1)^2-4=(a+1+2)(a+1-2)$
$(a+1)^2-4=(a+3)(a-1)$
因此，给定表达式可以因式分解为 $(a-1)(a+3)$。
(ii) 给定的表达式是 $4x^2-12x+5$。
我们可以将 $4x^2-12x+5$ 写成，
$4x^2-12x+5=4(x^2-3x+\frac{5}{4})$
这里，
$x^2$ 的系数为 $1$
$x$ 的系数为 $-3$
常数项为 $\frac{5}{4}$
$x^2$ 的系数为 $1$。因此，我们可以通过添加和减去 $x$ 系数一半的平方来对给定表达式进行因式分解。
因此，
$4x^2-12x+5=4(x^2-3x+\frac{5}{4})$
$4x^2-12x+5=4[x^2-3x+\frac{5}{4}+(\frac{3}{2})^2-(\frac{3}{2})^2]$ [因为 $\frac{1}{2}\times3=\frac{3}{2}$]
$4x^2-12x+5=4[x^2-3x+(\frac{3}{2})^2+\frac{5}{4}-\frac{9}{4}]$
$4x^2-12x+5=4[x^2-2(x)(\frac{3}{2})+(\frac{3}{2})^2+\frac{5-9}{4}]$
$4x^2-12x+5=4[(x-\frac{3}{2})^2+\frac{-4}{4}]$ (配方法)
$4x^2-12x+5=4[(x-\frac{3}{2})^2-1]$
现在，
$(x-\frac{3}{2})^2-1$ 可以写成，
$(x-\frac{3}{2})^2-1=(x-\frac{3}{2})^2-1^2$
使用公式 $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，我们可以将给定表达式因式分解为，
$4x^2-12x+5=4[(x-\frac{3}{2})^2-1^2]$
$4x^2+12y+5=4[(x-\frac{3}{2}+1)(x-\frac{3}{2}-1)]$
$4x^2-12x+5=4[(x+\frac{-3+2}{2})(x+\frac{-3-2}{2})]$
$4x^2-12x+5=4[(x+\frac{-1}{2})(x+\frac{-5}{2})]$
$4x^2-12x+5=4[(x-\frac{1}{2})(x-\frac{5}{2})]$
$4x^2-12x+5=2(x-\frac{1}{2})2(x-\frac{5}{2})]$
$4x^2-12x+5=(2x-2\times\frac{1}{2})(2x-2\times\frac{5}{2})]$
$4x^2-12x+5=(2x-1)(2x-5)]$
因此，给定表达式可以因式分解为 $(2x-5)(2x-1)$。
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