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法学将下列每个二次三项式分解因式
(i) $(x-2y)^2-5(x-2y)+6$
(ii) $(2a-b)^2+2(2a-b)-8$
已知
给定的二次三项式为
(i) $(x-2y)^2-5(x-2y)+6$
(ii) $(2a-b)^2+2(2a-b)-8$
要求
我们需要分解给定的二次三项式。
解答
代数表达式的因式分解
代数表达式的因式分解是指将表达式写成两个或多个因式的乘积。因式分解是分配律的逆运算。
当一个代数表达式写成质因数的乘积时，它就被完全分解了。
(i) 给定的表达式为 $(x-2y)^2-5(x-2y)+6$。
我们可以通过拆分中间项来分解这个表达式。拆分中间项意味着我们将中间项改写成两个项的和或差。
这里：
$(x-2y)^2$ 的系数为 $1$
$(x-2y)$ 的系数为 $-5$
常数项为 $6$
$(x-2y)^2-5(x-2y)+6$ 可以写成：
$(x-2y)^2-5(x-2y)+6=(x-2y)^2-2(x-2y)-3(x-2y)+6$ [因为 $-5(x-2y)=-2(x-2y)-3(x-2y)$ 且 $(x-2y)^2 \times 6=-2(x-2y) \times -3(x-2y) =6(x-2y)^2$]
$(x-2y)^2-5(x-2y)+6=(x-2y)[(x-2y)-2]-3[(x-2y)-2]$
$(x-2y)^2-5(x-2y)+6=(x-2y-3)(x-2y-2)$
因此，给定的表达式可以分解成 $(x-2y-3)(x-2y-2)$。
(ii) 给定的表达式为 $(2a-b)^2+2(2a-b)-8$。
我们可以通过拆分中间项来分解这个表达式。拆分中间项意味着我们将中间项改写成两个项的和或差。
这里：
$(2a-b)^2$ 的系数为 $1$
$(2a-b)$ 的系数为 $2$
常数项为 $-8$
$(2a-b)^2+2(2a-b)-8$ 可以写成：
$(2a-b)^2+2(2a-b)-8=(2a-b)^2+4(2a-b)-2(2a-b)-8$ [因为 $2(2a-b)=4(2a-b)-2(2a-b)$ 且 $(2a-b)^2 \times (-8)=4(2a-b) \times -2(2a-b) =-8(2a-b)^2$]
$(2a-b)^2+2(2a-b)-8=(2a-b)[(2a-b)+4]-2[(2a-b)+4]$
$(2a-b)^2+2(2a-b)-8=(2a-b+4)(2a-b-2)$
因此，给定的表达式可以分解成 $(2a-b-2)(2a-b+4)$。
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