将下列每个二次三项式分解因式
(i) $3x^2+10x+3$
(ii) $7x-6-2x^2$
(iii) $7x^2-19x-6$

已知

给定的二次三项式为

(i) $3x^2+10x+3$

(ii) $7x-6-2x^2$

(iii) $7x^2-19x-6$

要求

我们需要将给定的二次三项式因式分解。

解答

代数表达式的因式分解

代数表达式的因式分解是指将表达式写成两个或多个因式的乘积。因式分解是分配律的逆运算。

当一个代数表达式写成质因数的乘积时，它就被完全分解了。

(i) 给定的表达式是 $3x^2+10x+3$。

我们可以通过拆分中间项来分解给定的表达式。拆分中间项意味着我们将中间项改写成两个项的和或差。

这里，

$x^2$ 的系数是 $3$

$x$ 的系数是 $10$

常数项是 $3$

$3x^2+10x+3$ 可以写成：

$3x^2+10x+3=3x^2+9x+x+3$ [因为 $10x=9x+x$ 且 $3x^2 \times 3=9x \times x =9x^2$]

$3x^2+10x+3=3x(x+3)+1(x+3)$

$3x^2+10x+3=(3x+1)(x+3)$

因此，给定的表达式可以分解成 $(3x+1)(x+3)$。

(ii) 给定的表达式是 $7x-6-2x^2$。

我们可以通过拆分中间项来分解给定的表达式。拆分中间项意味着我们将中间项改写成两个项的和或差。

这里，

$x^2$ 的系数是 $-2$

$x$ 的系数是 $7$

常数项是 $-6$

$-2x^2+7x-6$ 可以写成：

$-2x^2+7x-6=-2x^2+4x+3x-6$ [因为 $7x=4x+3x$ 且 $-2x^2 \times (-6)=4x \times 3x =12x^2$]

$-2x^2+7x-6=-2x(x-2)+3(x-2)$

$-2x^2+7x-6=(-2x+3)(x-2)$

因此，给定的表达式可以分解成 $(-2x+3)(x-2)$。

(iii) 给定的表达式是 $7x^2-19x-6$。

我们可以通过拆分中间项来分解给定的表达式。拆分中间项意味着我们将中间项改写成两个项的和或差。

这里，

$x^2$ 的系数是 $7$

$x$ 的系数是 $-19$

常数项是 $-6$

$7x^2-19x-6$ 可以写成：

$7x^2-19x-6=7x^2+2x-21x-6$ [因为 $-19x=2x-21x$ 且 $7x^2 \times (-6)=2x \times (-21x) =-42x^2$]

$7x^2-19x-6=x(7x+2)-3(7x+2)$

$7x^2-19x-6=(x-3)(7x+2)$

因此，给定的表达式可以分解成 $(7x+2)(x-3)$。

Akhileshwar Nani

更新于：2023年4月11日

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