将下列每个二次三项式分解因式
(i) $36a^2+12abc-15b^2c^2$
(ii) $15x^2-16xyz-15y^2z^2$

已知

给定的二次三项式是

(i) $36a^2+12abc-15b^2c^2$

(ii) $15x^2-16xyz-15y^2z^2$

要求

我们必须分解给定的二次三项式。

解答

代数表达式的因式分解

代数表达式的因式分解是指将表达式写成两个或多个因式的乘积。因式分解是分配律的逆运算。

当一个代数表达式写成质因式的乘积时，它就被完全分解了。

(i) 给定的表达式是 $36a^2+12abc-15b^2c^2$。

我们可以通过拆分中间项来分解给定的表达式。拆分中间项意味着我们必须将中间项改写成两个项的和或差。

这里：

$a^2$ 的系数是 $36$

$a$ 的系数是 $12bc$

常数项是 $-15b^2c^2$

$36a^2+12abc-15b^2c^2$ 可以写成：

$36a^2+12abc-15b^2c^2=36a^2+30abc-18abc-15b^2c^2$ [因为 $12abc=30abc-18abc$ 且 $36a^2 \times (-15b^2c^2)=30abc \times (-18abc)=-540a^2b^2c^2$]

$36a^2+12abc-15b^2c^2=6a(6a+5bc)-3bc(6a+5bc)$

$36a^2+12abc-15b^2c^2=(6a-3bc)(6a+5bc)$

$36a^2+12abc-15b^2c^2=2(3a-bc)(6a+5bc)$ (提取公因数 2)

因此，给定的表达式可以分解为 $2(3a-bc)(6a+5bc)$。

(ii) 给定的表达式是 $15x^2-16xyz-15y^2z^2$。

我们可以通过拆分中间项来分解给定的表达式。拆分中间项意味着我们必须将中间项改写成两个项的和或差。

这里：

$x^2$ 的系数是 $15$

$x$ 的系数是 $-16yz$

常数项是 $-15y^2z^2$

$15x^2-16xyz-15y^2z^2$ 可以写成：

$15x^2-16xyz-15y^2z^2=15x^2-25xyz+9xyz-15y^2z^2$ [因为 $-16xyz=-25xyz+9xyz$ 且 $15x^2 \times (-15y^2z^2)=-25xyz \times 9xyz =-225x^2y^2z^2$]

$15x^2-16xyz-15y^2z^2=5x(3x-5yz)+3yz(3x-5yz)$

$15x^2-16xyz-15y^2z^2=(5x+3yz)(3x-5yz)$

因此，给定的表达式可以分解为 $(5x+3yz)(3x-5yz)$。

Akhileshwar Nani

更新于：2023年4月12日

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