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法律研究利用配方法分解下列每个二次多项式
(i) $p^2+6p+8$
(ii) $q^2-10q+21$
已知
给定的二次多项式为
(i) $p^2+6p+8$
(ii) $q^2-10q+21$
要求
我们必须分解给定的二次多项式。
解答
代数表达式的因式分解
代数表达式的因式分解是指将表达式写成两个或多个因数的乘积。因式分解是分配律的逆运算。
当一个代数表达式写成质因数的乘积时，它就被完全分解了。
配方法是一种将二次表达式写成包含完全平方项的形式的方法。
(i) 给定的表达式为 $p^2+6p+8$。
这里，
$p^2$ 的系数为 $1$
$p$ 的系数为 $6$
常数项为 $8$
$p^2$ 的系数为 $1$。因此，我们可以通过添加和减去 $p$ 系数一半的平方来分解给定的表达式。
因此，
$p^2+6p+8=p^2+6p+8+3^2-3^2$ [因为 $\frac{1}{2}\times6=3$]
$p^2+6p+8=p^2+6p+3^2+8-9$
$p^2+6p+8=p^2+2(p)(3)+3^2-1$
$p^2+6p+8=(p+3)^2-1$ (配方法)
现在，
$(p+3)^2-1$ 可以写成，
$(p+3)^2-1=(p+3)^2-1^2$
使用公式 $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，我们可以将给定的表达式分解为，
$(p+3)^2-1=(p+3)^2-1^2$
$(p+3)^2-1=(p+3+1)(p+3-1)$
$(p+3)^2-1=(p+4)(p+2)$
因此，给定的表达式可以分解为 $(p+2)(p+4)$。
(ii) 给定的表达式为 $q^2-10q+21$。
这里，
$q^2$ 的系数为 $1$
$q$ 的系数为 $-10$
常数项为 $21$
$q^2$ 的系数为 $1$。因此，我们可以通过添加和减去 $q$ 系数一半的平方来分解给定的表达式。
因此，
$q^2-10q+21=q^2-10q+21+5^2-5^2$ [因为 $\frac{1}{2}\times10=5$]
$q^2-10q+21=q^2-10q+5^2+21-25$
$q^2-10q+21=q^2-2(q)(5)+5^2-4$
$q^2-10q+21=(q-5)^2-4$ (配方法)
现在，
$(q-5)^2-4$ 可以写成，
$(q-5)^2-4=(q-5)^2-2^2$ [因为 $4=2^2$]
使用公式 $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，我们可以将给定的表达式分解为，
$(q-5)^2-4=(q-5)^2-2^2$
$(q-5)^2-4=(q-5+2)(q-5-2)$
$(q-5)^2-4=(q-3)(q-7)$
因此，给定的表达式可以分解为 $(q-7)(q-3)$。
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