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法律研究使用配方法因式分解下列每个二次多项式
(i) $x^2+12x+20$
(ii) $a^2-14a-51$
已知
给定的二次多项式为
(i) $x^2+12x+20$
(ii) $a^2-14a-51$
要求
我们必须对给定的二次多项式进行因式分解。
解答
代数表达式的因式分解
代数表达式的因式分解是指将表达式写成两个或多个因式的乘积。因式分解是分配律的逆运算。
当一个代数表达式写成质因数的乘积时，它就被完全因式分解了。
配方法是一种将二次表达式写成包含完全平方式的方法。
(i) 给定的表达式是 $x^2+12x+20$。
这里：
$x^2$ 的系数是 $1$
$x$ 的系数是 $12$
常数项是 $20$
$x^2$ 的系数是 $1$。因此，我们可以通过加减 $x$ 系数一半的平方来分解给定的表达式。
因此：
$x^2+12x+20=x^2+12x+20+6^2-6^2$ [因为 $\frac{1}{2}\times12=6$]
$x^2+12x+20=x^2+12x+6^2+20-36$
$x^2+12x+20=x^2+2(x)(6)+6^2-16$
$x^2+12x+20=(x+6)^2-16$ (配方法)
现在：
$(x+6)^2-16$ 可以写成：
$(x+6)^2-16=(x+6)^2-4^2$ [因为 $16=4^2$]
使用公式 $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，我们可以将给定的表达式因式分解为：
$(x+6)^2-16=(x+6)^2-4^2$
$(x+6)^2-16=(x+6+4)(x+6-4)$
$(x+6)^2-16=(x+10)(x+2)$
因此，给定的表达式可以因式分解为 $(x+2)(x+10)$。
(ii) 给定的表达式是 $a^2-14a-51$。
这里：
$a^2$ 的系数是 $1$
$a$ 的系数是 $-14$
常数项是 $-51$
$a^2$ 的系数是 $1$。因此，我们可以通过加减 $a$ 系数一半的平方来分解给定的表达式。
因此：
$a^2-14a-51=a^2-14a-51+7^2-7^2$ [因为 $\frac{1}{2}\times14=7$]
$a^2-14a-51=a^2-14a+7^2-51-49$
$a^2-14a-51=a^2-2(a)(7)+7^2-100$
$a^2-14a-51=(a-7)^2-100$ (配方法)
现在：
$(a-7)^2-100$ 可以写成：
$(a-7)^2-100=(a-7)^2-10^2$ [因为 $100=10^2$]
使用公式 $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，我们可以将给定的表达式因式分解为：
$(a-7)^2-100=(a-7)^2-10^2$
$(a-7)^2-100=(a-7+10)(a-7-10)$
$(a-7)^2-100=(a+3)(a-17)$
因此，给定的表达式可以因式分解为 $(a-17)(a+3)$。
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