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法律研究使用配方法因式分解下列每个二次多项式
(i) x2+12x+20
(ii) a2−14a−51
已知
给定的二次多项式为
(i) x2+12x+20
(ii) a2−14a−51
要求
我们必须对给定的二次多项式进行因式分解。
解答
代数表达式的因式分解
代数表达式的因式分解是指将表达式写成两个或多个因式的乘积。因式分解是分配律的逆运算。
当一个代数表达式写成质因数的乘积时，它就被完全因式分解了。
配方法是一种将二次表达式写成包含完全平方式的方法。
(i) 给定的表达式是 x2+12x+20。
这里：
x2 的系数是 1
x 的系数是 12
常数项是 20
x2 的系数是 1。因此，我们可以通过加减 x 系数一半的平方来分解给定的表达式。
因此：
x2+12x+20=x2+12x+20+62−62 [因为 12×12=6]
x2+12x+20=x2+12x+62+20−36
x2+12x+20=x2+2(x)(6)+62−16
x2+12x+20=(x+6)2−16 (配方法)
现在：
(x+6)2−16 可以写成：
(x+6)2−16=(x+6)2−42 [因为 16=42]
使用公式 a2−b2=(a+b)(a−b)，我们可以将给定的表达式因式分解为：
(x+6)2−16=(x+6)2−42
(x+6)2−16=(x+6+4)(x+6−4)
(x+6)2−16=(x+10)(x+2)
因此，给定的表达式可以因式分解为 (x+2)(x+10)。
(ii) 给定的表达式是 a2−14a−51。
这里：
a2 的系数是 1
a 的系数是 −14
常数项是 −51
a2 的系数是 1。因此，我们可以通过加减 a 系数一半的平方来分解给定的表达式。
因此：
a2−14a−51=a2−14a−51+72−72 [因为 12×14=7]
a2−14a−51=a2−14a+72−51−49
a2−14a−51=a2−2(a)(7)+72−100
a2−14a−51=(a−7)2−100 (配方法)
现在：
(a−7)2−100 可以写成：
(a−7)2−100=(a−7)2−102 [因为 100=102]
使用公式 a2−b2=(a+b)(a−b)，我们可以将给定的表达式因式分解为：
(a−7)2−100=(a−7)2−102
(a−7)2−100=(a−7+10)(a−7−10)
(a−7)2−100=(a+3)(a−17)
因此，给定的表达式可以因式分解为 (a−17)(a+3)。
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