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法律研究对下列代数式进行因式分解
(i) $x^2+12x-45$
(ii) $40+3x-x^2$
已知
给定的表达式为
(i) $x^2+12x-45$
(ii) $40+3x-x^2$
要求
我们需要对给定的代数式进行因式分解。
解答
代数式的因式分解
对代数式进行因式分解意味着将表达式写成两个或多个因式的乘积。因式分解是分配律的逆运算。
当一个代数式写成质因式的乘积时，我们说这个代数式被完全因式分解了。
(i) 给定的表达式为 $x^2+12x-45$。
我们可以通过拆分中间项对给定的表达式进行因式分解。拆分中间项意味着我们需要将中间项重写为两个项的和或差。
$x^2+12x-45$ 可以写成：
$x^2+12x-45=x^2+15x-3x-45$ [因为 $12x=15x-3x$ 且 $x^2 \times (-45)=15x \times (-3x) =-45x^2$]
$x^2+12x-45=x(x+15)-3(x+15)$
$x^2+12x-45=(x+15)(x-3)$
因此，给定的表达式可以因式分解为 $(x+15)(x-3)$。
(ii) 给定的表达式为 $40+3x-x^2$。
我们可以通过拆分中间项对给定的表达式进行因式分解。拆分中间项意味着我们需要将中间项重写为两个项的和或差。
$40+3x-x^2$ 可以写成：
$40+3x-x^2=-(x^2-3x-40)$
$40+3x-x^2=-(x^2+5x-8x-40)$ [因为 $-3x=5x-8x$ 且 $x^2 \times (-40)=5x \times (-8x) =-40x^2$]
$40+3x-x^2=-[x(x+5)-8(x+5)]$
$40+3x-x^2=-[(x+5)(x-8)]$
$40+3x-x^2=(x+5)(8-x)$ [因为 $-(x-8)=-x+8=8-x$]
因此，给定的表达式可以因式分解为 $(x+5)(8-x)$。
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