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法律研究对下列代数式进行因式分解
(i) $a^2-8ab+16b^2-25c^2$
(ii) $x^2-y^2+6y-9$
已知
给定的表达式为
(i) $a^2-8ab+16b^2-25c^2$
(ii) $x^2-y^2+6y-9$
要求
我们必须对给定的代数式进行因式分解。
解答
代数式的因式分解
对代数式进行因式分解意味着将表达式写成两个或多个因式的乘积。因式分解是分配律的逆运算。
当一个代数式被写成素因式的乘积时，它就被完全因式分解了。
(i) 给定的表达式为 $a^2-8ab+16b^2-25c^2$。
$a^2-8ab+16b^2-25c^2$ 可以写成：
$a^2-8ab+16b^2-25c^2=[(a)^2-2(a)(4b)+(4b)^2]-(5c)^2$ [因为 $8ab=2(a)(4b), 16b^2=(4b)^2$ 且 $25c^2=(5c)^2$]
这里，我们可以观察到给定的表达式是 $m^2-2mn+n^2$ 形式的。因此，利用公式 $(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，我们可以对给定的表达式进行因式分解。
这里，
$m=a$ 且 $n=4b$
因此，
$a^2-8ab+16b^2-25c^2=[(a)^2-2(a)(4b)+(4b)^2]-(5c)^2$
$a^2-8ab+16b^2-25c^2=(a-4b)^2-(5c)^2$
现在，
利用公式 $m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，我们可以将 $(a-4b)^2-(5c)^2$ 因式分解为：
$a^2-8ab+16b^2-25c^2=(a-4b)^2-(5c)^2$
$a^2-8ab+16b^2-25c^2=(a-4b+5c)(a-4b-5c)$
因此，给定的表达式可以因式分解为 $(a-4b+5c)(a-4b-5c)$。
(ii) 给定的表达式为 $x^2-y^2+6y-9$。
$x^2-y^2+6y-9$ 可以写成：
$x^2-y^2+6y-9=x^2-[(y)^2-2(y)(3)+(3)^2]$
这里，我们可以观察到给定的表达式是 $m^2-2mn+n^2$ 形式的。因此，利用公式 $(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，我们可以对给定的表达式进行因式分解。
这里，
$m=y$ 且 $n=3$
因此，
$x^2-y^2+6y-9=x^2-[(y)^2-2(y)(3)+(3)^2]$
$x^2-y^2+6y-9=x^2-(y-3)^2$
现在，
利用公式 $m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，我们可以将 $x^2-(y-3)^2$ 因式分解为：
$x^2-y^2+6y-9=x^2-(y-3)^2$
$x^2-y^2+6y-9=(x+y-3)(x-y+3)$
因此，给定的表达式可以因式分解为 $(x+y-3)(x-y+3)$。
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