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法学对下列代数式进行因式分解
(i) 49−x2−y2+2xy
(ii) a2+4b2−4ab−4c2
(iii) x2−y2−4xz+4z2
已知
已知表达式为
(i) 49−x2−y2+2xy
(ii) a2+4b2−4ab−4c2
(iii) x2−y2−4xz+4z2
要求
我们必须对给定的代数表达式进行因式分解。
解答
代数表达式的因式分解
代数表达式的因式分解意味着将表达式写成两个或多个因式的乘积。因式分解是分配的逆运算。
当一个代数表达式写成质因数的乘积时，它就被完全因式分解了。
(i) 给定的表达式是 49−x2−y2+2xy。
49−x2−y2+2xy 可以写成：
49−x2−y2+2xy=49−(x2+y2−2xy)
49−x2−y2+2xy=72−[(x)2−2(x)(y)+(y)2] [因为 49=72 且 2xy=2(x)(y)]
这里，我们可以观察到给定的表达式是 m2−2mn+n2 的形式。因此，使用公式 (m−n)2=m2−2mn+n2，我们可以对给定的表达式进行因式分解。
这里：
m=x 且 n=y
因此：
49−x2−y2+2xy=72−[(x)2−2(x)(y)+(y)2]
49−x2−y2+2xy=72−(x−y)2
现在：
使用公式 m2−n2=(m+n)(m−n)，我们可以将 72−(x−y)2 因式分解为：
49−x2−y2+2xy=72−(x−y)2
49−x2−y2+2xy=(7+x−y)(7−x+y)
因此，给定的表达式可以因式分解为 (x−y+7)(−x+y+7)。
(ii) 给定的表达式是 a2+4b2−4ab−4c2。
a2+4b2−4ab−4c2 可以写成：
a2+4b2−4ab−4c2=[(a)2−2(a)(2b)+(2b)2]−(2c)2 [因为 4b2=(2b)2, 4ab=2(a)(2b) 且 4c2=(2c)2]
这里，我们可以观察到给定的表达式是 m2−2mn+n2 的形式。因此，使用公式 (m−n)2=m2−2mn+n2，我们可以对给定的表达式进行因式分解。
这里：
m=a 且 n=2b
因此：
a2+4b2−4ab−4c2=[(a)2−2(a)(2b)+(2b)2]−(2c)2
a2+4b2−4ab−4c2=(a−2b)2−(2c)2
现在：
使用公式 m2−n2=(m+n)(m−n)，我们可以将 (a−2b)2−(2c)2 因式分解为：
a2+4b2−4ab−4c2=(a−2b)2−(2c)2
a2+4b2−4ab−4c2=(a−2b+2c)(a−2b−2c)
因此，给定的表达式可以因式分解为 (a−2b+2c)(a−2b−2c)。
(iii) 给定的表达式是 x2−y2−4xz+4z2。
x2−y2−4xz+4z2 可以写成：
x2−y2−4xz+4z2=[(x)2−2(x)(2z)+(2z)2]−(y)2 [因为 4xz=2(x)(2z) 且 4z2=(2z)2]
这里，我们可以观察到给定的表达式是 m2−2mn+n2 的形式。因此，使用公式 (m−n)2=m2−2mn+n2，我们可以对给定的表达式进行因式分解。
这里：
m=x 且 n=2z
因此：
x2−y2−4xz+4z2=[(x)2−2(x)(2z)+(2z)2]−(y)2
x2−y2−4xz+4z2=(x−2z)2−(y)2
现在：
使用公式 m2−n2=(m+n)(m−n)，我们可以将 (x−2z)2−(y)2 因式分解为：
x2−y2−4xz+4z2=(x−2z)2−(y)2
x2−y2−4xz+4z2=(x−2z+y)(x−2z−y)
因此，给定的表达式可以因式分解为 (x+y−2z)(x−y−2z)。
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