因式分解下列代数式
(i) $a^2+4ab+3b^2$
(ii) $96-4x-x^2$
(iii) $a^4+3a^2+4$

已知

给定的表达式为

(i) $a^2+4ab+3b^2$。

(ii) $96-4x-x^2$

(iii) $a^4+3a^2+4$

要求

我们需要因式分解给定的代数式。

解答

代数表达式的因式分解

因式分解代数表达式意味着将表达式写成两个或多个因式的乘积。因式分解是分配律的逆运算。

当一个代数表达式写成质因数的乘积时，它就被完全因式分解了。

(i) 给定的表达式为 $a^2+4ab+3b^2$。

$a^2+4ab+3b^2$ 可以写成，

通过拆分和分组项，我们可以对给定的表达式进行因式分解。  

$a^2+4ab+3b^2=a^2+ab+3ab+3b^2$                         [因为 $4ab=ab+3ab$]

因此，

$a^2+4ab+3b^2=a^2+ab+3ab+3b^2$

$a^2+4ab+3b^2=a(a+b)+3b(a+b)$

$a^2+4ab+3b^2=(a+b)(a+3b)$

因此，给定的表达式可以因式分解为 $(a+b)(a+3b)$。

(ii) 给定的表达式为 $96-4x-x^2$。

通过拆分和分组项，我们可以对给定的表达式进行因式分解。  

$96-4x-x^2$ 可以写成，

$96-4x-x^2=-(x^2+4x-96)$

$96-4x-x^2=-(x^2+12x-8x-96)$                       (因为 $4x=12x-8x$)

因此，

$96-4x-x^2=-(x^2+12x-8x-96)$

$96-4x-x^2=-[x(x+12)-8(x+12)]$

$96-4x-x^2=-(x+12)(x-8)$

$96-4x-x^2=(x+12)(8-x)$                         [因为 $-(x-8)=(-x+8)=(8-x)$]

因此，给定的表达式可以因式分解为 $(x+12)(8-x)$。

(iii) 给定的表达式为 $a^4+3a^2+4$。

通过拆分和分组项，我们可以对给定的表达式进行因式分解。  

$a^4+3a^2+4$ 可以写成，

$a^4+3a^2+4=a^4+4a^2-a^2+4$                       (因为 $3a^2=4a^2-a^2$)

$a^4+3a^2+4=(a^2)^2+2(a^2)(2)+2^2-a^2$

$a^4+3a^2+4=(a^2+2)^2-a^2$                          [因为 $(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$]

因此，使用公式 $m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，我们可以对给定的表达式进行因式分解。

$a^4+3a^2+4=(a^2+2)^2-a^2$

$a^4+3a^2+4=(a^2+2+a)(a^2+2-a)$

因此，给定的表达式可以因式分解为 $(a^2+a+2)(a^2-a+2)$。

Akhileshwar Nani

更新于： 2023年4月10日

浏览量 107 次

开启你的职业生涯

通过完成课程获得认证

开始学习