数据结构
网络
关系型数据库管理系统
操作系统
Java
MS Excel
iOS
HTML
CSS
Android
Python
C 语言编程
C++
C#
MongoDB
MySQL
Javascript
PHP
物理
化学
生物
数学
英语
经济学
心理学
社会学
时尚研究
法律研究对下列代数式进行因式分解
(i) $4x^4+1$
(ii) $4x^4+y^4$
已知
给定的表达式为
(i) $4x^4+1$。
(ii) $4x^4+y^4$
要求
我们需要对给定的代数式进行因式分解。
解答
代数式的因式分解
对代数式进行因式分解意味着将表达式写成两个或多个因式的乘积。因式分解是分配律的逆运算。
当一个代数式写成质因数的乘积时，它就被完全因式分解了。
(i) 给定的表达式是 $4x^4+1$。
$4x^4+1$ 可以写成：
$4x^4+1=4x^4+1+4x^2-4x^2$ (加减 $4x^2$)
$4x^4+1=[(2x^2)^2+2(2x^2)(1)+1^2]-4x^2$ [因为 $4x^4=(2x^2)^2, 1=(1)^2$ 且 $4x^2=2(2x^2)(1)$]
这里，我们可以观察到给定的表达式是 $m^2+2mn+n^2$ 的形式。因此，利用公式 $(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，我们可以对给定的表达式进行因式分解。
这里，
$m=2x^2$ 且 $n=1$
所以，
$4x^4+1=[(2x^2)^2+2(2x^2)(1)+1^2]-4x^2$
$4x^4+1=(2x^2+1)^2-4x^2$
现在，
$(2x^2+1)^2-4x^2$ 可以写成，
$(2x^2+1)^2-4x^2$=(2x^2+1)^2-(2x)^2$
利用公式 $m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，我们可以对 $(2x^2+1)^2-(2x)^2$ 进行因式分解，如下：
$4x^4+1=(2x^2+1)^2-(2x)^2$
$4x^4+1=(2x^2+1+2x)(2x^2+1-2x)$
因此，给定的表达式可以因式分解为 $(2x^2+2x+1)(2x^2-2x+1)$。
(ii) 给定的表达式是 $4x^4+y^4$。
$4x^4+y^4$ 可以写成：
$4x^4+y^4=4x^4+y^4+4x^2y^2-4x^2y^2$ (加减 $4x^2y^2$)
$4x^4+y^4=(2x^2)^2+(y^2)^2+2(2x^2)(y^2)-4x^2y^2$ [因为 $4x^4=(2x^2)^2, y^4=(y^2)^2$ 且 $4x^2y^2=2(2x^2)(y^2)$]
这里，我们可以观察到给定的表达式是 $m^2+2mn+n^2$ 的形式。因此，利用公式 $(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，我们可以对给定的表达式进行因式分解。
这里，
$m=2x^2$ 且 $n=y^2$
所以，
$4x^4+y^4=(2x^2)^2+(y^2)^2+2(2x^2)(y^2)-4x^2y^2$
$4x^4+y^4=(2x^2+y^2)^2-4x^2y^2$
现在，
$(2x^2+y^2)^2-4x^2y^2$ 可以写成，
$(2x^2+y^2)^2-4x^2y^2=(2x^2+y^2)^2-(2xy)^2$ [因为 $4x^2y^2=(2xy)^2$]
利用公式 $m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，我们可以对 $(2x^2+y^2)^2-(2xy)^2$ 进行因式分解，如下：
$(2x^2+y^2)^2-4x^2y^2=(2x^2+y^2)^2-(2xy)^2$
$(2x^2+y^2)^2-4x^2y^2=(2x^2+y^2+2xy)(2x^2+y^2-2xy)$
因此，给定的表达式可以因式分解为 $(2x^2+y^2+2xy)(2x^2+y^2-2xy)$。
353 次浏览
