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法律研究因式分解代数表达式 9a4−24a2b2+16b4−256。
已知
给定的表达式是 9a4−24a2b2+16b4−256。
要求
我们必须因式分解代数表达式 9a4−24a2b2+16b4−256。
解答
代数表达式的因式分解
代数表达式的因式分解是指将表达式写成两个或多个因子的乘积。因式分解是分配律的逆运算。
当一个代数表达式写成质因数的乘积时，它就被完全因式分解了。
9a4−24a2b2+16b4−256 可以写成：
9a4−24a2b2+16b4−256=(9a4−24a2b2+16b4)−256
9a4−24a2b2+16b4−256=[(3a2)2−2(3a2)(4b2)+(4b2)2]−256 [因为 9a4=(3a2)2,16b4=(4b2)2 且 24a2b2=2(3a2)(4b2)]
在这里，我们可以观察到给定的表达式是 m2−2mn+n2 形式。因此，使用公式 (m−n)2=m2−2mn+n2，我们可以对给定的表达式进行因式分解。
这里，
m=3a2 且 n=4b2
因此，
9a4−24a2b2+16b4−256=[(3a2)2−2(3a2)(4b2)+(4b2)2]−256
9a4−24a2b2+16b4−256=(3a2−4b2)2−256
现在，
(3a2−4b2)2−256 可以写成：
(3a2−4b2)2−256=(3a2−4b2)2−(16)2 [因为 256=(16)2]
使用公式 a2−b2=(a+b)(a−b)，我们可以将 (3a2−4b2)2−(16)2 因式分解为：
(3a2−4b2)2−256=(3a2−4b2)2−(16)2
(3a2−4b2)2−256=(3a2−4b2+16)(3a2−4b2−16)
因此，给定的表达式可以因式分解为 (3a2−4b2+16)(3a2−4b2−16)。
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