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法律研究因式分解代数表达式 $9a^4-24a^2b^2+16b^4-256$。
已知
给定的表达式是 $9a^4-24a^2b^2+16b^4-256$。
要求
我们必须因式分解代数表达式 $9a^4-24a^2b^2+16b^4-256$。
解答
代数表达式的因式分解
代数表达式的因式分解是指将表达式写成两个或多个因子的乘积。因式分解是分配律的逆运算。
当一个代数表达式写成质因数的乘积时，它就被完全因式分解了。
$9a^4-24a^2b^2+16b^4-256$ 可以写成：
$9a^4-24a^2b^2+16b^4-256=(9a^4-24a^2b^2+16b^4)-256$
$9a^4-24a^2b^2+16b^4-256=[(3a^2)^2-2(3a^2)(4b^2)+(4b^2)^2]-256$ [因为 $9a^4=(3a^2)^2, 16b^4=(4b^2)^2$ 且 $24a^2b^2=2(3a^2)(4b^2)$]
在这里，我们可以观察到给定的表达式是 $m^2-2mn+n^2$ 形式。因此，使用公式 $(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，我们可以对给定的表达式进行因式分解。
这里，
$m=3a^2$ 且 $n=4b^2$
因此，
$9a^4-24a^2b^2+16b^4-256=[(3a^2)^2-2(3a^2)(4b^2)+(4b^2)^2]-256$
$9a^4-24a^2b^2+16b^4-256=(3a^2-4b^2)^2-256$
现在，
$(3a^2-4b^2)^2-256$ 可以写成：
$(3a^2-4b^2)^2-256=(3a^2-4b^2)^2-(16)^2$ [因为 $256=(16)^2$]
使用公式 $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，我们可以将 $(3a^2-4b^2)^2-(16)^2$ 因式分解为：
$(3a^2-4b^2)^2-256=(3a^2-4b^2)^2-(16)^2$
$(3a^2-4b^2)^2-256=(3a^2-4b^2+16)(3a^2-4b^2-16)$
因此，给定的表达式可以因式分解为 $(3a^2-4b^2+16)(3a^2-4b^2-16)$。
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