因式分解表达式 $(2x+1)^2-9x^4$。

已知

给定的表达式是 $(2x+1)^2-9x^4$。

待做

我们要对表达式 $(2x+1)^2-9x^4$ 进行因式分解。

解

代数表达式的因式分解

对代数表达式进行因式分解是指将表达式写成两个或更多因数的乘积。因式分解与展开相反。 

当一个代数表达式被写成素因数的乘积时，就完成了它的完全因式分解。

$(2x+1)^2-9x^4$ 可以写成：

$(2x+1)^2-9x^4=(2x+1)^2-(3x^2)^2$             [因为 $9x^4=(3x^2)^2$]

在此，我们可以观察到给定的表达式是两个完全平方数的差。因此，我们可以使用公式 $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ 对给定的表达式进行因式分解。 

因此，

$(2x+1)^2-9x^4=(2x+1)^2-(3x^2)^2$

$(2x+1)^2-9x^4=[2x+1+3x^2][2x+1-3x^2]$

$(2x+1)^2-9x^4=(3x^2+2x+1)(-3x^2+2x+1)$

因此，给定的表达式可以因式分解为 $(3x^2+2x+1)(-3x^2+2x+1)$。

更新于： 09-04-2023

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