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法律研究因式分解该表达式 $a^4-\frac{1}{b^4}$。
已知
给定的代数表达式为 $a^4-\frac{1}{b^4}$。
待做
我们必须对表达式 $a^4-\frac{1}{b^4}$ 进行因式分解。
解决方案
因式分解代数式
对代数式因式分解是指把该式写成两个或多个因子的乘积。因式分解是分配律的反向操作。
当代数式写成质因数的乘积时，即完全因式分解。
$a^4-\frac{1}{b^4}$ 可以写成：
$a^4-\frac{1}{b^4}=(a^2)^2-(\frac{1}{b^2})^2$
在此，我们可以观察到，给定表达式是两个平方差。因此，通过使用公式 $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，我们可以对给定表达式进行因式分解。
因此：
$a^4-\frac{1}{b^4}=(a^2)^2-(\frac{1}{b^2})^2$
$a^4-\frac{1}{b^4}=(a^2+\frac{1}{b^2})(a^2-\frac{1}{b^2})$
现在，
$(a^2-\frac{1}{b^2})$ 可以写成：
$(a^2-\frac{1}{b^2})=a^2-(\frac{1}{b})^2$
使用公式 $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，我们可以对 $(a^2-(\frac{1}{b})^2)$ 进行因式分解。
$a^2-(\frac{1}{b})^2=(a+\frac{1}{b})(a-\frac{1}{b})$.............(I)
因此：
$a^4-\frac{1}{b^4}=(a^2+\frac{1}{b^2})(a+\frac{1}{b})(a-\frac{1}{b})$ [使用 (I)]
因此，给定的表达式可以因式分解为 $(a^2+\frac{1}{b^2})(a+\frac{1}{b})(a-\frac{1}{b})$。
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