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法律研究分解表达式 $a^4-16(b-c)^4$。
已知
已知表达式为 $a^4-16(b-c)^4$。
目标
我们必须对表达式 $a^4-16(b-c)^4$ 进行分解。
解法
分解代数表达式
分解代数表达式是指把表达式写成两个或以上因式的乘积。分解是分配的逆运算。
当一个代数表达式写成质因数的乘积时，才表示其已经完全分解。
$a^4-16(b-c)^4$ 可以写成：
$a^4-16(b-c)^4=(a^2)^2-[4(b-c)^2]^2$ [由于 $a^4=(a^2)^2, 16(b-c)^4=(4(b-c)^2)^2$]
在此，我们可以观察到给定的表达式是一个平方差。因此，可以使用公式 $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ 对给定表达式分解。
因此，
$a^4-16(b-c)^4=(a^2)^2-[4(b-c)^2]^2$
$a^4-16(b-c)^4=[a^2+4(b-c)^2][a^2-4(b-c)^2]$
现在，
$a^2-4(b-c)^2$ 可以写成：
$a^2-4(b-c)^2=(a)^2-[2(b-c)]^2$ (由于 $4(b-c)^2=[2(b-c)]^2$)
使用公式 $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ 可以对 $(a)^2-[2(b-c)]^2$ 进行分解。
$(a)^2-[2(b-c)]^2=[a+2(b-c)][a-2(b-c)]$
$(a)^2-[2(b-c)]^2=(a+2b-2c)(a-2b+2c)$.............(I)
因此，
$a^4-16(b-c)^4=[a^2+4(b-c)^2](a+2b-2c)(a-2b+2c)$ [使用 (I)]
因此，给定表达式可分解为 $[a^2+4(b-c)^2](a+2b-2c)(a-2b+2c)$。
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