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法律研究对代数表达式 $a^2+2ab+b^2-16$ 进行因式分解。
已知
给定的表达式是 $a^2+2ab+b^2-16$。
要求
我们需要对代数表达式 $a^2+2ab+b^2-16$ 进行因式分解。
解答
代数表达式的因式分解
对代数表达式进行因式分解意味着将表达式写成两个或多个因式的乘积。因式分解是分配律的逆运算。
当一个代数表达式写成质因式的乘积时，我们称该表达式被完全因式分解。
$a^2+2ab+b^2-16$ 可以写成：
$a^2+2ab+b^2-16=a^2+2(a)(b)+(b)^2-16$ [因为 $a^2=(a)^2, b^2=(b)^2$ 且 $2ab=2(a)(b)$]
这里，我们可以观察到给定的表达式是 $m^2+2mn+n^2$ 的形式。因此，利用公式 $(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，我们可以对给定的表达式进行因式分解。
这里：
$m=a$ 且 $n=b$
因此：
$a^2+2ab+b^2-16=(a)^2+2(a)(b)+(b)^2-16$
$a^2+2ab+b^2-16=(a+b)^2-16$
现在：
$(a+b)^2-16$ 可以写成：
$(a+b)^2-16=(a+b)^2-4^2$ [因为 $16=4^2$]
利用公式 $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，我们可以将 $(a+b)^2-4^2$ 因式分解为：
$(a+b)^2-16=(a+b)^2-4^2$
$(a+b)^2-16=(a+b+4)(a+b-4)$
因此，给定的表达式可以因式分解为 $(a+b+4)(a+b-4)$。
更新于: 2023年4月10日
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