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法学因式分解代数表达式 $9z^2-x^2+4xy-4y^2$。
已知
给定的代数表达式是 $9z^2-x^2+4xy-4y^2$。
要求
我们必须因式分解表达式 $9z^2-x^2+4xy-4y^2$。
解答
代数表达式的因式分解
代数表达式的因式分解是指将表达式写成两个或多个因式的乘积。因式分解是分配律的逆过程。
当一个代数表达式写成质因数的乘积时，它就被完全因式分解了。
$9z^2-x^2+4xy-4y^2$ 可以写成：
$9z^2-x^2+4xy-4y^2=9z^2-(x^2-4xy+4y^2)$
$9z^2-x^2+4xy-4y^2=9z^2-[x^2-2(x)(2y)+(2y)^2]$ [因为 $x^2=(x)^2, 4y^2=(2y)^2$ 且 $4xy=2(x)(2y)$]
这里，我们可以观察到给定的表达式是 $m^2-2mn+n^2$ 的形式。因此，利用公式 $(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，我们可以因式分解给定的表达式。
这里：
$m=x$ 且 $n=2y$
因此：
$9z^2-x^2+4xy-4y^2=9z^2-[x^2-2(x)(2y)+(2y)^2]$
$9z^2-x^2+4xy-4y^2=9z^2-[(x-2y)^2]$
现在：
$9z^2-[(x-2y)^2]$ 可以写成：
$9z^2-[(x-2y)^2]=(3z)^2-(x-2y)^2$ [因为 $9z^2=(3z)^2$]
利用公式 $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，我们可以将 $(3z)^2-(x-2y)^2$ 因式分解为：
$9z^2-(x-2y)^2=(3z)^2-(x-2y)^2$
$9z^2-(x-2y)^2=(3z+x-2y)[3z-(x-2y)]$
$9z^2-(x-2y)^2=(x-2y+3z)(-x+2y+3z)$
因此，给定的表达式可以因式分解为 $(x-2y+3z)(-x+2y+3z)$。
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