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法律研究因式分解下列代数式
(i) $25x^2-10x+1-36y^2$
(ii) $a^2-b^2+2bc-c^2$
(iii) $a^2+2ab+b^2-c^2$
已知
给定的表达式是
(i) $25x^2-10x+1-36y^2$
(ii) $a^2-b^2+2bc-c^2$
(iii) $a^2+2ab+b^2-c^2$
要求
我们必须对给定的代数表达式进行因式分解。
解答
代数表达式的因式分解
代数表达式的因式分解是指将表达式写成两个或多个因式的乘积。因式分解是分配律的逆运算。
当一个代数表达式写成质因式的乘积时，它就完全因式分解了。
(i) 给定的表达式是 $25x^2-10x+1-36y^2$。
$25x^2-10x+1-36y^2$ 可以写成：
$25x^2-10x+1-36y^2=[(5x)^2-2(5x)(1)+(1)^2]-(6y)^2$ [因为 $25x^2=(5x)^2, 10x=2(5x)(1)$ 和 $36y^2=(6y)^2$]
这里，我们可以观察到给定的表达式是 $m^2-2mn+n^2$ 的形式。因此，利用公式 $(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，我们可以对给定的表达式进行因式分解。
这里：
$m=5x$ 和 $n=1$
因此：
$25x^2-10x+1-36y^2=[(5x)^2-2(5x)(1)+(1)^2]-(6y)^2$
$25x^2-10x+1-36y^2=(5x-1)^2-(6y)^2$
现在：
利用公式 $m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，我们可以将 $(5x-1)^2-(6y)^2$ 因式分解为：
$25x^2-10x+1-36y^2=(5x-1)^2-(6y)^2$
$25x^2-10x+1-36y^2=(5x-1+6y)(5x-1-6y)$
因此，给定的表达式可以因式分解为 $(5x+6y-1)(5x-6y-1)$。
(ii) 给定的表达式是 $a^2-b^2+2bc-c^2$。
$a^2-b^2+2bc-c^2$ 可以写成：
$a^2-b^2+2bc-c^2=a^2-(b^2-2bc+c^2)$
$a^2-b^2+2bc-c^2=a^2-[b^2-2(b)(c)+(c)^2]$
这里，我们可以观察到给定的表达式是 $m^2-2mn+n^2$ 的形式。因此，利用公式 $(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，我们可以对给定的表达式进行因式分解。
这里：
$m=b$ 和 $n=c$
因此：
$a^2-b^2+2bc-c^2=a^2-[b^2-2(b)(c)+(c)^2]$
$a^2-b^2+2bc-c^2=a^2-(b-c)^2$
现在：
利用公式 $m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，我们可以将 $a^2-(b-c)^2$ 因式分解为：
$a^2-b^2+2bc-c^2=a^2-(b-c)^2$
$a^2-b^2+2bc-c^2=(a+b-c)(a-b+c)$
因此，给定的表达式可以因式分解为 $(a+b-c)(a-b+c)$。
(iii) 给定的表达式是 $a^2+2ab+b^2-c^2$。
$a^2+2ab+b^2-c^2$ 可以写成：
$a^2+2ab+b^2-c^2=[(a)^2+2(a)(b)+(b)^2]-(c)^2$
这里，我们可以观察到给定的表达式是 $m^2+2mn+n^2$ 的形式。因此，利用公式 $(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，我们可以对给定的表达式进行因式分解。
这里：
$m=a$ 和 $n=b$
因此：
$a^2+2ab+b^2-c^2=[(a)^2+2(a)(b)+(b)^2]-(c)^2$
$a^2+2ab+b^2-c^2=(a+b)^2-(c)^2$
现在：
利用公式 $m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，我们可以将 $(a+b)^2-(c)^2$ 因式分解为：
$a^2+2ab+b^2-c^2=(a+b)^2-(c)^2$
$a^2+2ab+b^2-c^2=(a+b+c)(a+b-c)$
因此，给定的表达式可以因式分解为 $(a+b+c)(a+b-c)$。
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