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法律研究因式分解下列代数式
(i) $a^2+2a-3$
(ii) $a^2+14a+48$
(iii) $x^2-4x-21$
已知
给定的表达式为
(i) $a^2+2a-3$
(ii) $a^2+14a+48$
(iii) $x^2-4x-21$
要求
我们需要对给定的代数式进行因式分解。
解答
代数式的因式分解
对代数式进行因式分解意味着将该表达式写成两个或多个因式的乘积。因式分解是分配律的逆运算。
当一个代数式被写成质因数的乘积时，我们就说该代数式被完全因式分解了。
(i) 给定的表达式是 $a^2+2a-3$。
我们可以通过拆分中间项来对给定的表达式进行因式分解。拆分中间项意味着我们需要将中间项重写为两个项的和或差。
$a^2+2a-3$ 可以写成，
$a^2+2a-3=a^2+3a-a-3$ [因为 $2a=3a-a$ 且 $a^2 \times (-3)=3a \times (-a) =-3a^2$]
$a^2+2a-3=a(a+3)-1(a+3)$
$a^2+2a-3=(a+3)(a-1)$
因此，给定的表达式可以因式分解为 $(a+3)(a-1)$。
(ii) 给定的表达式是 $a^2+14a+48$。
我们可以通过拆分中间项来对给定的表达式进行因式分解。拆分中间项意味着我们需要将中间项重写为两个项的和或差。
$a^2+14a+48$ 可以写成，
$a^2+14a+48=a^2+8a+6a+48$ [因为 $14a=8a+6a$ 且 $a^2 \times 48=8a \times 6a =48a^2$]
$a^2+14a+48=a(a+8)+6(a+8)$
$a^2+14a+48=(a+8)(a+6)$
因此，给定的表达式可以因式分解为 $(a+6)(a+8)$。
(iii) 给定的表达式是 $x^2-4x-21$。
我们可以通过拆分中间项来对给定的表达式进行因式分解。拆分中间项意味着我们需要将中间项重写为两个项的和或差。
$x^2-4x-21$ 可以写成，
$x^2-4x-21=x^2-7x+3x-21$ [因为 $-4x=-7x+3x$ 且 $x^2 \times (-21)=-7x \times 3x =-21x^2$]
$x^2-4x-21=x(x-7)+3(x-7)$
$x^2-4x-21=(x-7)(x+3)$
因此，给定的表达式可以因式分解为 $(x-7)(x+3)$。
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