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法学因式分解下列代数式
(i) $25-p^2-q^2-2pq$
(ii) $x^2+9y^2-6xy-25a^2$
(iii) $49-a^2+8ab-16b^2$
已知
给定的表达式为
(i) $25-p^2-q^2-2pq$
(ii) $x^2+9y^2-6xy-25a^2$
(iii) $49-a^2+8ab-16b^2$
要求
我们需要对给定的代数表达式进行因式分解。
解答
代数表达式的因式分解
代数表达式的因式分解是指将表达式写成两个或多个因式的乘积。因式分解是分配律的逆运算。
当一个代数表达式被写成质因数的乘积时，它就被完全因式分解了。
(i) 给定的表达式是 $25-p^2-q^2-2pq$。
$25-p^2-q^2-2pq$ 可以写成：
$25-p^2-q^2-2pq=25-[p^2+2pq+q^2]$
$25-p^2-q^2-2pq=5^2-[(p)^2+2(p)(q)+(q)^2]$ [因为 $25=5^2$ 且 $2pq=2(p)(q)$]
这里，我们可以观察到给定的表达式是 $m^2+2mn+n^2$ 的形式。因此，利用公式 $(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，我们可以对给定的表达式进行因式分解。
这里：
$m=p$ 且 $n=q$
因此：
$25-p^2-q^2-2pq=5^2-[(p)^2+2(p)(q)+(q)^2]$
$25-p^2-q^2-2pq=5^2-(p+q)^2$
现在：
利用公式 $m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，我们可以将 $5^2-(p+q)^2$ 因式分解为：
$25-p^2-q^2-2pq=5^2-(p+q)^2$
$25-p^2-q^2-2pq=(5+p+q)(5-p-q)$
因此，给定的表达式可以因式分解为 $(p+q+5)(5-p-q)$。
(ii) 给定的表达式是 $x^2+9y^2-6xy-25a^2$。
$x^2+9y^2-6xy-25a^2$ 可以写成：
$x^2+9y^2-6xy-25a^2=[(x)^2-2(x)(3y)+(3y)^2]-(5a)^2$ [因为 $6xy=2(x)(3y)$，$9y^2=(3y)^2$ 且 $25a^2=(5a)^2$]
这里，我们可以观察到给定的表达式是 $m^2-2mn+n^2$ 的形式。因此，利用公式 $(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，我们可以对给定的表达式进行因式分解。
这里：
$m=x$ 且 $n=3y$
因此：
$x^2+9y^2-6xy-25a^2=[(x)^2-2(x)(3y)+(3y)^2]-(5a)^2$
$x^2+9y^2-6xy-25a^2=(x-3y)^2-(5a)^2$
现在：
利用公式 $m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，我们可以将 $(x-3y)^2-(5a)^2$ 因式分解为：
$x^2+9y^2-6xy-25a^2=(x-3y)^2-(5a)^2$
$x^2+9y^2-6xy-25a^2=(x-3y+5a)(x-3y-5a)$
因此，给定的表达式可以因式分解为 $(x-3y+5a)(x-3y-5a)$。
(iii) 给定的表达式是 $49-a^2+8ab-16b^2$。
$49-a^2+8ab-16b^2$ 可以写成：
$49-a^2+8ab-16b^2=7^2-[(a)^2-2(a)(4b)+(4b)^2]$ [因为 $49=(7)^2$，$8ab=2(a)(4b)$ 且 $16b^2=(4b)^2$]
这里，我们可以观察到给定的表达式是 $m^2-2mn+n^2$ 的形式。因此，利用公式 $(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，我们可以对给定的表达式进行因式分解。
这里：
$m=a$ 且 $n=4b$
因此：
$49-a^2+8ab-16b^2=7^2-[(a)^2-2(a)(4b)+(4b)^2]$
$49-a^2+8ab-16b^2=7^2-(a-4b)^2$
现在：
利用公式 $m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，我们可以将 $7^2-(a-4b)^2$ 因式分解为：
$49-a^2+8ab-16b^2=7^2-(a-4b)^2$
$49-a^2+8ab-16b^2=(7+a-4b)(7-a+4b)$
因此，给定的表达式可以因式分解为 $(7+a-4b)(7-a+4b)$。
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