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法律因式分解下列代数式
(i) $y^2+5y-36$
(ii) $(a^2-5a)^2-36$
(iii) $(a+7)(a-10)+16$
已知
给定的表达式为
(i) $y^2+5y-36$
(ii) $(a^2-5a)^2-36$
(iii) $(a+7)(a-10)+16$
要求
我们需要对给定的代数表达式进行因式分解。
解答
代数表达式的因式分解
代数表达式的因式分解是指将表达式写成两个或多个因式的乘积。因式分解是分配律的逆运算。
当一个代数表达式被写成质因数的乘积时，它就被完全因式分解了。
(i) 给定的表达式是 $y^2+5y-36$。
我们可以通过拆分中间项来对给定的表达式进行因式分解。拆分中间项意味着我们需要将中间项重写为两个项的和或差。
$y^2+5y-36$ 可以写成，
$y^2+5y-36=y^2+9y-4y-36$ [因为 $5y=9y-4y$ 且 $y^2 \times (-36)=9y \times (-4y) =-36y^2$]
$y^2+5y-36=y(y+9)-4(y+9)$
$y^2+5y-36=(y+9)(y-4)$
因此，给定的表达式可以因式分解为 $(y-4)(y+9)$。
(ii) 给定的表达式是 $(a^2-5a)^2-36$。
我们可以通过拆分中间项来对给定的表达式进行因式分解。拆分中间项意味着我们需要将中间项重写为两个项的和或差。
$(a^2-5a)^2-36$ 可以写成，
$(a^2-5a)^2-36=(a^2-5a)^2-(6)^2$
使用公式 $m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，我们可以将给定的表达式因式分解为，
$(a^2-5a)^2-36=(a^2-5a)^2-(6)^2$
$(a^2-5a)^2-36=(a^2-5a+6)(a^2-5a-6)$
现在，
$a^2-5a+6$ 可以通过拆分中间项进行因式分解为，
$a^2-5a+6=a^2-3a-2a+6$ [因为 $-5a=-3a-2a$ 且 $a^2 \times 6=-3a \times (-2a) =6a^2$]
$a^2-5a+6=a(a-3)-2(a-3)$
$a^2-5a+6=(a-3)(a-2)$.................(I)
$a^2-5a-6$ 可以通过拆分中间项进行因式分解为，
$a^2-5a-6=a^2+a-6a-6$ [因为 $-5a=a-6a$ 且 $a^2 \times (-6)=a \times (-6a) =-6a^2$]
$a^2-5a-6=a(a+1)-6(a+1)$
$a^2-5a-6=(a+1)(a-6)$.................(II)
使用 (I) 和 (II)，我们得到，
$(a^2-5a)^2-36=(a-6)(a-3)(a-2)(a+1)$
因此，给定的表达式可以因式分解为 $(a-6)(a-3)(a-2)(a+1)$。
(iii) 给定的表达式是 $(a+7)(a-10)+16$。
我们可以通过拆分中间项来对给定的表达式进行因式分解。拆分中间项意味着我们需要将中间项重写为两个项的和或差。
$(a+7)(a-10)+16$ 可以写成，
$(a+7)(a-10)+16=a(a-10)+7(a-10)+16$
$(a+7)(a-10)+16=a^2-10a+7a-70+16$
$(a+7)(a-10)+16=a^2-3a-54$
$(a+7)(a-10)+16=a^2-9a+6a-54$ [因为 $-3a=-9a+6a$ 且 $a^2 \times (-54)=-9a \times 6a =-54a^2$]
$(a+7)(a-10)+16=a(a-9)+6(a-9)$
$(a+7)(a-10)+16=(a-9)(a+6)$
因此，给定的表达式可以因式分解为 $(a-9)(a+6)$。
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