分解表达式 $75a^3b^2-108ab^4$。

已知

给定表达式为 $75a^3b^2-108ab^4$。

待做

我们需要对表达式 $75a^3b^2-108ab^4$ 进行因式分解。

解

代数表达式的因式分解

代数表达式的因式分解是指将表达式写成两个或多个因式的乘积。因式分解与展开相反。 

当一个代数表达式被写成质因数乘积时，就称为完全因式分解。

$75a^3b^2-108ab^4$ 可以写成：

$75a^3b^2-108ab^4=3ab^2(25a^2-36b^2)$           (提取公因式 $3ab^2$)

$75a^3b^2-108ab^4=3ab^2[(5a)^2-(6b)^2]$             [由于 $25=5^2, 36=6^2$]

这里，我们可以观察到给定的表达式是两个平方差。因此，我们可以使用公式 $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ 对给定的表达式进行因式分解。 

因此，

$75a^3b^2-108ab^4=3ab^2[(5a)^2-(6b)^2]$

$75a^3b^2-108ab^4=3ab^2(5a+6b)(5a-6b)$

因此，给定的表达式可以因式分解为 $3ab^2(5a+6b)(5a-6b)$。

更新于: 2023-04-08

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