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法律研究协方差和相关系数在投资组合理论中如何使用？
将多种证券组合在一起以降低风险的过程称为分散投资。为了理解分散投资的机制和力量，有必要更仔细地考虑协方差或相关性对投资组合风险的影响。
让我们按类别研究这个问题 -
当证券收益完全正相关时，
当证券收益完全负相关时，以及
当证券收益不相关时。
证券收益完全正相关
当净资产收益完全正相关时，两种证券之间的相关系数为+1。因此，两种证券的收益将一起上升或下降。完全正相关的投资组合方差使用以下公式计算 -
$$\mathrm{(σ_{ρ})^{2} = (𝑥_{1})^{2}(σ_{1})^{2} + (𝑥_{2})^{2}(σ_{2})^{2} + 2 𝑟_{12}\:𝑥_{1}𝑥_{2}\:σ_{1}σ_{2}}$$
由于𝑟12 = 1，这可以改写为 -
$$\mathrm{(σ_{ρ})^{2} = (𝑥_{1})^{2}(σ_{1})^{2} + (𝑥_{2})^{2}(σ_{2})^{2} + 2 \times 1 \times 2\:σ_{1}σ_{2}}$$
等式的右边与恒等式(a + b)2 = a2 + 2ab + b2的展开式具有相同的形式
因此，它可以简化为，
$$\mathrm{(σ_{ρ})^{2} = (𝑥_{1}σ_{1} + 𝑥_{2}σ_{2})^{2}}$$
然后标准差 (SD) 变为 $(σ_{ρ} = 𝑥_{1}σ_{1} + 𝑥_{2}σ_{2})$，这仅仅是单个证券标准差的净平均值。
示例
证券 P 的标准差 = 50
证券 Q 的标准差 = 30
在 P 中投资的比例 = 0.4
在 Q 中投资的比例 = 0.6
相关系数 = +1.0
投资组合标准差可以计算为 -
$$\mathrm{σ_{ρ} = 𝑥_{1}σ_{1} + 𝑥_{2}σ_{2}=(0.4 \times 50)+ (0.6 \times 30) = 38}$$
作为单个证券 SD 的加权平均数，投资组合 SD 将位于两个单独的单个证券的标准差之间。在给定的示例中，它将在 50 和 30 之间变化。
例如，如果在 P 和 Q 中投资的比例分别为 0.75 和 0.25，则投资组合标准差变为 -
$$\mathrm{σ_{ρ} = 𝑥_{1}σ_{1} + 𝑥_{2}σ_{2}=(0.75 \times 50) + (0.25 \times 30) = 45}$$
因此，当资产的证券收益完全正相关时，分散投资仅提供风险平均化，不提供风险降低。发生这种情况是因为投资组合风险无法降低到低于每个单独资产的风险。因此，当证券收益完全正相关时，分散投资没有成效。
证券收益完全负相关
在这种情况下，它们之间的相关系数变为 -1。投资组合的两个收益将朝着完全相反的方向移动。投资组合方差由下式给出 -
$$\mathrm{(σ_{ρ})^{2} = (𝑥_{1})^{2}(σ_{1})^{2} + (𝑥_{2})^{2}(σ_{2})^{2} + 2 𝑟_{12}\:𝑥_{1}𝑥_{2}\:σ_{1}σ_{2}}$$
由于 𝑟12 = −1，这可以改写为 -
$$\mathrm{(σ_{ρ})^{2} = (𝑥_{1})^{2}(σ_{1})^{2} + (𝑥_{2})^{2}(σ_{2})^{2} - 2 \times 1 \times 2 σ_{1}σ_{2}}$$
等式的右边与恒等式(a - b)2 = a2 - 2ab + b2的展开式具有相同的形式
因此，它可以简化为，
$$\mathrm{({σ_{ρ}})^{2} = (𝑥_{1}σ_{1} - 𝑥_{2}σ_{2})^{2}}$$
然后标准差 (SD) 变为 $(σ_{ρ} = 𝑥_{1}σ_{1} - 𝑥_{2}σ_{2})$
对于上面考虑的说明性投资组合，当相关系数为 -1 时，我们可以计算投资组合标准差。
$$\mathrm{σ_{ρ} = 𝑥_{1}σ_{1} - 𝑥_{2}σ_{2}=(0.40 \times 50) − (0.60 \times 30) = 2}$$
投资组合风险可能会降至零。例如，当 P 和 Q 分别为 0.375 和 0.625 时，投资组合标准差变为 -
$$\mathrm{σ_{ρ}=(0.375 × 50) − (0.625 × 30) = 0}$$
在这里，尽管投资组合有两个风险资产，但投资组合总体上没有风险。因此，当证券收益完全负相关时，投资组合风险可能为零。
证券收益不相关
当两个证券的收益完全不相关时，相关系数将为零。投资组合方差的公式为 -
$$\mathrm{(σ_{ρ})^{2} = (𝑥_{1})^{2}(σ_{1})^{2} + (𝑥_{2})^{2}(σ_{2})^{2} + 2\:𝑟_{12}\:𝑥_{1}𝑥_{2}\:σ_{1}σ_{2}}$$
由于 𝑟12 = 0，等式中的最后一项变为零；该公式可以改写为 -
$$\mathrm{(σ_{ρ})^{2} = (𝑥_{1})^{2}(σ_{1})^{2} + (𝑥_{2})^{2}(σ_{2})^{2}}$$
然后标准差变为 -
$$\mathrm{σ_{ρ}=\sqrt{𝑥_{1}σ_{1} + 𝑥_{2}σ_{2}}}$$
对于我们的说明性投资组合，
$$\mathrm{σ_{ρ}=\sqrt{(0.4)^{2}(50)^{2} + (0.6)^{2}(30)^{2}}=\sqrt{400 + 324}= 26.91}$$
投资组合 SD 小于投资组合中单个证券的标准差。因此，当证券收益完全不相关时，分散投资会降低风险并变得有效。
我们可以得出结论，风险始终会降低，除非双资产投资组合的证券收益完全正相关。随着相关系数从 +1 降至 -1，投资组合 SD 也自动下降。但是，当证券收益负相关时，风险降低最为明显。
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