如何计算包含两种资产的投资组合的标准差和方差？

投资组合标准差是包含多种资产投资组合的总体标准差。它显示投资组合的总风险，是计算夏普比率的重要数据。

众所周知的金融原理是“多元化程度越高，风险越低”。除非投资组合投资回报之间存在完美且确定的相关性，否则这是正确的。为了获得多元化的最大好处，投资组合的标准差应该低于各个投资标准差的加权平均值。

换句话说，投资组合方差是一个统计量度，显示投资组合数据集的离散程度。它是现代投资理论中一个非常重要的概念。统计量度本身可能无法提供重要的见解，但是可以使用它来计算使用投资组合方差的投资组合标准差。

投资组合方差的计算不仅考虑单个资产的固有风险，还考虑投资组合中每对资产之间的相关性。因此，统计方差分析了资产将朝哪个方向移动？投资组合多元化的黄金法则是选择两个彼此之间具有低或负相关性的资产。

投资组合方差公式

包含两种资产的投资组合的方差可以用以下公式计算：

$$\mathrm{投资组合方差 = (𝑤_{1})^{2}(σ_{1})^{2} + (𝑤_{2})^{2}(σ_{2})^{2} + 2\:𝑤_{1}𝑤_{2}\:Cov_{1,2}}$$

其中：

• $𝑤_{𝑖}$ – 第 i 个资产的权重

• $(σi)^{2}$ – 第 i 个资产的方差

• $Cov_{1,2}$– 资产 1 和资产 2 之间的协方差

这里需要注意的是，协方差和相关性在数学上是相关的。这种关系通常以如下方式表示：

$$\mathrm{ρ_{1,2}=\frac{Cov_{1,2}}{σ_{1}σ_{2}}}$$

其中：

• $ρ_{1,2}$ – 资产 1 和资产 2 之间的相关性

• $Cov_{1,2}$ – 资产 1 和资产 2 之间的协方差

• $σ_{1}$ – 资产 1 的标准差

• $σ_{2}$ – 资产 2 的标准差

了解协方差和相关性之间的关系后，我们现在可以将投资组合方差公式改写如下：

$$\mathrm{投资组合方差 = (𝑤_{1})^{2}(σ_{1})^{2} + (𝑤_{2})^{2}(σ_{2})^{2} + 2\:𝑤_{1}𝑤_{2}\:Cov_{1,2}}$$

投资组合方差的标准差由方差的平方根给出。

$$\mathrm{投资组合标准差 =\sqrt{(𝑤_{1})^{2}(σ_{1})^{2} + (𝑤_{2})^{2}(σ_{2})^{2} + 2\:𝑤_{1}𝑤_{2}\:Cov_{1,2}}}$$

在计算包含多个资产的投资组合的方差时，应计算因子 $(2\:𝑤_{1}𝑤_{2}\:Cov_{1,2})$ 或 $(2\:𝑤_{1}𝑤_{2}\:ρ_{𝑖,𝑗}σ_{𝑖}σ_{𝑗})$ 对于投资组合中的每一对资产。

Probir Banerjee

更新于：2021年9月28日

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