如果\( \sin \theta-\cos \theta=0 \)，则\( \left(\sin ^{4} \theta+\cos ^{4} \theta\right) \)的值为
(A) 1
(B) \( \frac{3}{4} \)
(C) \( \frac{1}{2} \)
(D) \( \frac{1}{4} \)

已知

\( \sin \theta-\cos \theta=0 \)

求解

我们需要求\( \left(\sin ^{4} \theta+\cos ^{4} \theta\right) \)的值。

解答

我们知道：

$\tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}$

$\tan 45^{\circ}=1$

因此：

$\sin \theta-\cos \theta=0$

$\sin \theta=\cos \theta$

$\frac{\sin \theta}{\cos \theta}=1$

$\tan \theta=1$

$\tan \theta=\tan 45^{\circ}$

$\Rightarrow \theta=45^{\circ}$

这意味着：

$\sin ^{4} \theta+\cos ^{4} \theta=\sin ^{4} 45^{\circ}+\cos ^{4} 45^{\circ}$

$=(\frac{1}{\sqrt{2}})^{4}+(\frac{1}{\sqrt{2}})^{4}$         (因为 $\sin 45^{\circ}=\cos 45^{\circ}=\frac{1}{\sqrt{2}}$)

$=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}$

$=\frac{2}{4}$

$=\frac{1}{2}$

教程点

更新于：2022年10月10日

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