如果存在，请命名由以下点形成的四边形的类型，并说明理由。
(i) $(-1, -2), (1, 0), (-1, 2), (-3, 0)$
(ii) $(-3, 5), (3, 1), (0, 3), (-1, -4)$
(iii) $(4, 5), (7, 6), (4, 3), (1, 2)$

待办事项

我们必须找到由给定点形成的四边形（如果存在）。

解答

设给定点为 $A(-1, -2), B(1, 0), C(-1, 2), D(-3, 0)$。

我们知道，

两点 $\mathrm{A}(x_{1}, y_{1})$ 和 $\mathrm{B}(x_{2}, y_{2})$ 之间的距离为 $\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$。

因此，

$\mathrm{AB}=\sqrt{(1+1)^{2}+(0+2)^{2}}$

两边平方，得到 $\mathrm{AB}^{2}=(1+1)^{2}+(0+2)^{2}$

$=(2)^{2}+(2)^{2}$

$=4+4$

$=8$

$\mathrm{BC}^{2}=(-1-1)^{2}+(2-0)^{2}$

$=(-2)^{2}+(2)^{2}$

$=4+4$

$=8$

$\mathrm{CD}^{2}=(-3+1)^{2}+(0-2)^{2}$

$=(-2)^{2}+(-2)^{2}$

$=4+4$

$=8$

$\mathrm{DA}^{2}=(-1+3)^{2}+(-2+0)^{2}$

$=(2)^{2}+(-2)^{2}$

$=4+4$

$=8$

$\mathrm{AC}^{2}=(-1+1)^{2}+(2+2)^{2}$

$=(0)^{2}+(4)^{2}$

$=0+16$

$=16$

$\mathrm{BD}^{2}=(-3-1)^{2}+(0-0)^{2}$

$=(-4)^{2}+0$

$=16$

这里，

$AB^2=BC^2=CD^2=DA^2$ 且 $AC^2=BD^2$

这意味着，

$AB=BC=CD=DA$ 且 $AC=BD$。

所有边都相等，对角线也相等。

因此，由点 $A, B, C, D$ 形成的四边形是正方形。

(ii) 设给定点为 $A (-3, 5), B (3, 1), C (0, 3), D (-1, -4)$。

我们知道，

两点 $\mathrm{A}(x_{1}, y_{1})$ 和 $\mathrm{B}(x_{2}, y_{2})$ 之间的距离为 $\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$。

因此，

$\mathrm{AB}=\sqrt{(3+3)^{2}+(1-5)^{2}}$

两边平方，得到，

$\mathrm{AB}^{2}=(3+3)^{2}+(1-5)^{2}$

$=(6)^{2}+(-4)^{2}$

$=36+16$

$=52$

$\mathrm{BC}^{2}=(0-3)^{2}+(3-1)^{2}$

$=(-3)^{2}+(2)^{2}$

$=9+4$

$=13$

$\mathrm{CD}^{2}=(-1-0)^{2}+(-4-3)^{2}$

$=(-1)^{2}+(-7)^{2}$

$=1+49$

$=50$

$\mathrm{DA}^{2}=(-3+1)^{2}+(5+4)^{2}$

$=(-2)^{2}+(9)^{2}$

$=4+81$

$=85$

$\mathrm{AC}^{2}=(0+3)^{2}+(3-5)^{2}$

$=(3)^{2}+ (-2)^{2}$

$=9+4$

$=13$

在 $\Delta \mathrm{ABC}$ 中，

$\mathrm{AB}=\sqrt{52}, \mathrm{AC}=\sqrt{13}, \mathrm{BC}=\sqrt{13}$

$\mathrm{AC}+\mathrm{BC}=\sqrt{13}+\sqrt{13}=2 \sqrt{13}$

$\mathrm{AB}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$

$\Rightarrow \mathrm{AC}+\mathrm{BC}=\mathrm{AB}$

这意味着，点 $A, B ,C$ 共线。

因此，$\Delta \mathrm{ABC}$ 不可能存在。

因此，$\mathrm{ABCD}$ 不是四边形。

(iii) 设给定点为 $A (4, 5), B (7, 6), C (4, 3), D (1, 2)$。

我们知道，

两点 $\mathrm{A}(x_{1}, y_{1})$ 和 $\mathrm{B}(x_{2}, y_{2})$ 之间的距离为 $\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}$。

因此，

$\mathrm{AB}=\sqrt{(7-4)^{2}+(6-5)^{2}}$

两边平方，得到，

$\mathrm{AB}^{2}=(7-4)^{2}+(6-5)^{2}$

$=(3)^{2}+(1)^{2}$

$=9+1$

$=10$

$B C^{2}=(4-7)^{2}+(3-6)^{2}$

$=(3)^{2}+(-3)^{2}$

$=9+9$

$=18$

$\mathrm{CD}^{2}=(1-4)^{2}+(2-3)^{2}$

$=(-3)^{2}+(-1)^{2}$

$=9+1$

$=10$

$\mathrm{DA}^{2}=(4-1)^{2}+(5-2)^{2}$

$=(3)^{2}+(3)^{2}$

$=9+9$

$=18$

$\mathrm{AC}^{2}=(4-4)^{2}+(3-5)^{2}$

$=(0)^{2}+(-2)^{2}$

$=0+4$

$=4$

$\mathrm{BD}^{2}=(1-7)^{2}+(2-6)^{2}$

$=(-6)^{2}+(-4)^{2}$

$=36+16$

$=52$

这里，

$AB^2=CD^2$, $BC^2=DA^2$ 且 $AC^2≠BD^2$

这意味着，

$A B=C D, B C=D A$ 且 $AC≠BD$

对边相等，对角线不相等。

因此，由点 $A, B, C, D$ 形成的四边形是平行四边形。

教程点

更新于： 2022 年 10 月 10 日

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