方程 x = b*(sumofdigits(x) ^ a)+c 的整数解个数

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假设你得到三个整数 a、b 和 c，你有一个方程x = b* (sumofdigits(x)^a) +c。这里，sumofdigits(x) 是 x 中所有数字的总和。为了找到满足该方程的所有可能的整数解，我们将探讨 C++ 中的各种方法。

输入输出场景

以下是 a、b 和 c 的值。满足方程x = b* (sumofdigits(x)^a) +c的不同整数解作为输出给出。

Input: a = 2, b = 2, c = -3
Output: 125, 447, 575

在上例中，a = 2，b = 2，c = -3，x 的可能值为 125、447 和 575。

考虑 125，sum(x)（即其各位数字之和）为 8，如果你将这个值代入方程b*(sum(x)^a) +c，答案为125，等于 x。因此，它是该方程的可能解。

注意 − 此方程的整数解位于 1 到 10⁹ 的范围内。

使用递归

我们可以使用递归搜索来查找给定方程的整数解。

我们需要创建一个名为sumOfDigits() 的函数，用于计算任何给定数字N 的各位数字之和。

• 使用模运算符和除法运算符迭代N 的数字。

• 模运算符用于提取 N 的最后一位数字。

• 每次迭代后，将存储在变量sum 中的数字逐个相加。

我们创建一个 integralSolutions() 函数来计算整数解。

• 它使用sumOfDigits 函数计算 x 的各位数字之和。

• 接下来，使用 for 循环将 sum 提升到 a 的幂。

• 我们通过将b 乘以幂并将c 加到其中来计算方程的右边。

• 如果 x 的值等于右边值，则将其视为整数解。

接下来，我们有一个递归函数，它搜索指定范围内的整数解。

示例

#include <iostream>
using namespace std;

int sumOfDigits(int N) {
   int sum = 0;
   while (N != 0) {
      sum += N % 10; // addition of the last digit of N
      N /= 10;
   }
   return sum;
}
void integralSolutions(int x, int a, int b, int c) {
   int sum = sumOfDigits(x);
   int power = 1;
   for (int j = 0; j < a; j++) {
      power *= sum;
   }
   int rightHandSide = b * power + c;
   if (x == rightHandSide) {
      std::cout << "Integral solution: " << x << std::endl;
   }
}
void recursion(int start, int end, int a, int b, int c) {
   if (start > end) {
      return;
   }
   integralSolutions(start, a, b, c);
   recursion(start + 1, end, a, b, c);
}
int main() {
   int a = 1, b = 3, c = 5;
   recursion(1, 100000, a, b, c);
   return 0;
}

输出

Integral solution: 11
Integral solution: 38

段错误 此错误发生在递归搜索中指定范围的结束值超过 100000 时。因此，你不能拥有超过该值的 x 值。

使用简单迭代

如果你想要超过 100000 的 x 整数解，那么我们不使用递归。在这里，我们将使用从 1 到 10⁹ 的 x 值的简单迭代，并将其与方程的右边值进行比较。

示例

#include <iostream>
using namespace std;

int sumOfDigits(int N) {
   int sum = 0;
   while (N != 0) {
      sum += N % 10;
      N /= 10;
   }
   return sum;
}

bool integralSolution(int x, int a, int b, int c) {
   int sum = sumOfDigits(x);
   int power = 1;
   for (int i = 0; i < a; i++) {
      power *= sum;
   }
   int rightHandSide = b * power + c;
   return x == rightHandSide;
}

int main() {
   int a = 3, b = 5, c = 8;
   // x ranges from 1 to 109
   for (int x = 1; x <= 1000000000; x++) {
      if (integralSolution(x, a, b, c)) {
         std::cout << "Integral solution: " << x << std::endl;
      }
   }
   return 0;
}

输出

Integral solution: 53248
Integral solution: 148963

结论

我们探讨了查找方程x = b* (sumofdigits(x)^a) +c 的整数解的方法，包括使用递归或简单迭代。递归方法允许你灵活地指定解的范围。但是，它增加了时间复杂度，并且对于较大的值范围可能会出现段错误，导致堆栈溢出。

迭代方法在时间复杂度和内存使用方面都很高效。但是，它提供的灵活性有限，并且代码更复杂。因此，这两种方法各有优缺点。你可以根据自己的需求选择任何一种方法。