$ABCD$是一个四边形，其中$P、Q、R$和$S$分别是边$AB、BC、CD$和$DA$的中点（见图8.29）。$AC$是一条对角线。证明：
(i) $SR \parallel AC$ 且 $SR = \frac{1}{2}AC$
(ii) $PQ = SR$
(iii) $PQRS$是一个平行四边形。

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已知

$ABCD$是一个四边形，其中$P、Q、R$和$S$分别是边$AB、BC、CD$和$DA$的中点。$AC$是一条对角线。

要求

我们必须证明：

(i) $SR \parallel AC$ 且 $SR = \frac{1}{2}AC$ (ii) $PQ = SR$ (iii) $PQRS$是一个平行四边形

解答

我们知道：

中点定理指出，连接三角形两边中点的线段平行于第三边，并且长度是第三边的一半。

(i) 在$\triangle DAC$中，$S$是$DA$的中点，$R$是$DC$的中点。因此，根据中点定理，

$SR\parallel AC$ 且 $SR=\frac{1}{2}AC$.....(i)

(ii) 在$\triangle BAC$中，$P$是$AB$的中点，$Q$是$BC$的中点。因此，根据中点定理，

$PQ\parallel AC$ 且 $PQ= \frac{1}{2}AC$。

$PQ=SR$ (由(i))

(iii) $PQ\parallel AC$ 且 $SR\parallel AC$。

因此，$PQ\parallel SR$ 且 $PQ=SR$。

对边相等且平行的四边形是平行四边形。

因此，PQRS是一个平行四边形。

证毕。

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更新于：2022年10月10日

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