数据结构
网络
关系数据库管理系统 (RDBMS)
操作系统
Java
MS Excel
iOS
HTML
CSS
Android
Python
C语言编程
C++
C#
MongoDB
MySQL
Javascript
PHP
物理学
化学
生物学
数学
英语
经济学
心理学
社会学
服装学
法学由点A(-1, -1), B(-1, 4), C(5, 4)和D(5, -1)连接而成的四边形ABCD是一个矩形。P、Q、R和S分别是AB、BC、CD和DA的中点。四边形PQRS是正方形、矩形还是菱形？请说明理由。
已知
由点A(-1, -1), B(-1, 4), C(5, 4)和D(5, -1)连接而成的四边形ABCD是一个矩形。P、Q、R和S分别是AB、BC、CD和DA的中点。
任务
我们需要确定PQRS是正方形、矩形还是菱形。
解答
连接PR和QS。设PR和QS的交点为O。
利用中点公式，我们得到：
P点的坐标为\( \left(\frac{-2}{2}, \frac{3}{2}\right) \)
\( =(-1, \frac{3}{2}) \)
类似地：
Q点的坐标为\( \left(\frac{-1+5}{2}, \frac{4+4}{2}\right) \)
\( = \left(\frac{4}{2}, \frac{8}{2}\right) \)
\( =(2,4) \)
R点的坐标为\( \left(\frac{5+5}{2}, \frac{4-1}{2}\right) \)
\( = \left(\frac{10}{2}, \frac{3}{2}\right) \)
\( =(5, \frac{3}{2}) \)
S点的坐标为\( \left(\frac{5-1}{2}, \frac{-1-1}{2}\right) \)
\( = \left(\frac{4}{2}, \frac{-2}{2}\right) \)
\( =(2,-1) \)
利用距离公式，我们得到：
\( PQ=\sqrt{(2+1)^{2}+\left(4-\frac{3}{2}\right)^{2}} \)
\( =\sqrt{(3)^{2}+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}} \)
\( =\sqrt{9+\frac{25}{4}} \)
\( =\sqrt{\frac{36+25}{4}} \)
\( =\sqrt{\frac{61}{4}} \)
\( =\frac{\sqrt{61}}{2} \)
\( QR=\sqrt{(5-2)^{2}+\left(\frac{3}{2}-4\right)^{2}} \)
\( =\sqrt{(3)^{2}+\left(\frac{-5}{2}\right)^{2}} \)
\( =\sqrt{9+\frac{25}{4}} \)
\( =\sqrt{\frac{36+25}{4}} \)
\( =\sqrt{\frac{61}{4}} \)
\( =\frac{\sqrt{61}}{2} \)
O是PR的中点。
O的坐标为\( \left(\frac{-1+5}{2},\left(\frac{3}{2}+\frac{3}{2}\right) \frac{1}{2}\right) \)
\( = \left(\frac{4}{2}, \frac{3}{2}\right) \)
\( =(2, \frac{3}{2}) \)
类似地：
O是QS的中点。
O的坐标为\( \left(\frac{2+2}{2}, \frac{4+(-1)}{2}\right) \)
\( = \left(\frac{4}{2}, \frac{3}{2}\right) \)
\( =(2, \frac{3}{2}) \)
我们可以看到，两种情况下O的坐标相同，并且邻边也相等。
这意味着它可能是正方形或菱形。
\( PR=\sqrt{(5+1)^{2}+\left(\frac{3}{2}-\frac{3}{2}\right)^{2}} \)
\( =\sqrt{(6)^{2}+(0)^{2}} \)
\( =\sqrt{36+0} \)
\( =\sqrt{36} \)
\( =6 \)
\( QS=\sqrt{(2-2)^{2}+(-1-4)^{2}} \)
\( =\sqrt{(0)^{2}+(-5)^{2}} \)
\( =\sqrt{0+25} \)
\( =\sqrt{25} \)
\( =5 \)
这里，对角线不相等。
因此，PQRS是菱形。
61 次浏览
