已知四边形$ABCD$是筝形，其中$AB = AD$且$BC = CD$。证明：依次连接各边中点形成的图形是矩形。

已知

$ABCD$是筝形，其中$AB = AD$且$BC = CD$。

要求

我们需要证明：依次连接各边中点形成的图形是矩形。

解答

设$P, Q, R$和$S$分别是边$AB, BC, CD$和$DA$的中点。

连接$AC$和$BD$。

在$\triangle ABD$中，

$P$和$S$分别是$AB$和$AD$的中点。

这意味着，

$PS \parallel BD$且$PS = \frac{1}{2}BD$....…(i)

类似地，

在$\triangle BCD$中，

$Q$和$R$分别是$BC$和$CD$的中点。

这意味着，

$QR \parallel BD$且$QR = \frac{1}{2}BD$...…(ii)

类似地，

$PQ \parallel SR$且$PQ = SR$.....…(iii)

由式(i)、(ii)和(iii)可得，

$PQRS$是平行四边形。

$AC$和$BD$互相垂直。

因此，

$PQRS$是矩形。

证毕。

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更新于: 2022年10月10日

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