ABCD是一个四边形，其中AD = BC。如果P、Q、R、S分别是AB、AC、CD和BD的中点，证明PQRS是菱形。

已知

ABCD是一个四边形，其中AD = BC。P、Q、R、S分别是AB、AC、CD和BD的中点。
要求：

我们需要证明PQRS是菱形。

解答
 

在△ABC中，根据中点定理，

PQ∥BC 且 PQ=1/2BC......(i)

在△ABD中，根据中点定理，

PS∥AD 且 PS=1/2AD......(ii)

在△CAD中，根据中点定理，

RQ∥AD 且 RQ=1/2AD......(iii)

在△CBD中，根据中点定理，

RS∥BC 且 RS=1/2BC......(iv)

由(i)和(iii)可得，

PQ∥BC∥RS 且 PQ=RS=1/2BC....(v)

因此，

PQ∥BC 且 PQ=RS。

这意味着，

PQRS是平行四边形。

类似地，由(ii)和(iii)可得，

PS=RQ=1/2AD

PS=RQ=1/2BC   (因为AD=BC) ....(vi)

由(v)和(vi)可得，

PQ=RS=1/2BC=PS=RQ

PQ=QR=RS=SR

因此，

PQRS是平行四边形，且所有边都相等。

这意味着PQRS是菱形。

证毕。

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更新于： 2022年10月10日

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