如图所示，四边形$ABCD$外接于圆心为$O$的圆，使得边$AB$、$BC$、$CD$和$DA$分别与圆相切于点$P$、$Q$、$R$和$S$。证明$AB\ +\ CD\ =\ BC\ +\ DA$。

学术数学 NCERT 六年级

已知：四边形$ABCD$外接于圆心为O的圆，使得边$AB$、$BC$、$CD$和$DA$分别与圆相切于点$P$、$Q$、$R$和$S$。

求证：$AB\ +\ CD\ =\ BC\ +\ DA$。

解答

由于从圆外一点引出的圆的两条切线长相等，

$AP\ =\ AS\ \dotsc .( 1)$

$BP\ =\ BQ\ \dotsc .( 2)$

$CR\ =\ CQ\ \dotsc .( 3)$

$DR\ =\ DS\ \dotsc .( 4)$

将方程$( 1) ,\ ( 2) ,\ ( 3)$和$( 4)$相加，得到

$AP\ +\ BP\ +\ CR\ +\ DS\ =\ AS\ +\ BQ\ +\ CQ\ +\ DS$

$\therefore \ ( AP\ +\ BP) \ +\ ( CR\ +\ DR) \ =\ ( AS\ +\ DS) \ +\ ( BQ\ +\ CQ)$

$\therefore \ AB\ +\ CD\ =\ AD\ +\ BC$

$\therefore \ AB\ +\ CD\ =\ BC\ +\ DA\ \dotsc ..( 得证)$

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更新于： 2022年10月10日

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