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如图所示，四边形 $ABCD$ 外接于圆心为 $O$ 的圆，使得边 $AB$ 、 $BC$ 、 $CD$ 和 $DA$ 分别与圆相切于点 $P$ 、 $Q$ 、 $R$ 和 $S$ 。证明 $AB\ +\ CD\ =\ BC\ +\ DA$ 。

学术数学 NCERT 六年级

已知：四边形

$ABCD$ 外接于圆心为O的圆，使得边

$AB$ 、

$BC$ 、

$CD$ 和

$DA$ 分别与圆相切于点

$P$ 、

$Q$ 、

$R$ 和

$S$ 。

求证：

$AB\ +\ CD\ =\ BC\ +\ DA$ 。

解答

由于从圆外一点引出的圆的两条切线长相等，

$AP\ =\ AS\ \dotsc .( 1)$

$BP\ =\ BQ\ \dotsc .( 2)$

$CR\ =\ CQ\ \dotsc .( 3)$

$DR\ =\ DS\ \dotsc .( 4)$

将方程

$( 1) ,\ ( 2) ,\ ( 3)$ 和

$( 4)$ 相加，得到

$AP\ +\ BP\ +\ CR\ +\ DS\ =\ AS\ +\ BQ\ +\ CQ\ +\ DS$

$\therefore \ ( AP\ +\ BP) \ +\ ( CR\ +\ DR) \ =\ ( AS\ +\ DS) \ +\ ( BQ\ +\ CQ)$

$\therefore \ AB\ +\ CD\ =\ AD\ +\ BC$

$\therefore \ AB\ +\ CD\ =\ BC\ +\ DA\ \dotsc ..( 得证)$

教程点

更新于： 2022年10月10日

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