一个圆与四边形ABCD的四条边都相切。证明AB+CD=BC+DA。

已知：一个圆与四边形ABCD的四条边都相切。

要求：证明AB+CD=BC+DA。

因为给定的平行四边形ABCD外切于圆，其边在P、Q、R和S点与圆相切。

所以AP和AS是从外点A引出的圆的切线。

BP和BQ是从外点B引出的圆的切线。

CQ和CR是从外点C引出的圆的切线。

DR和DS是从外点D引出的圆的切线。

我们知道，从外点引出的圆的切线长度总是相等的。

所以 AP=AS … … … (1)

BP=BQ … … … (2)

CQ=CR … … … (3)

DR=DS … … … (4)

让我们将(1)、(2)、(3)和(4)相加

AP+BP+CR+DR=AS+BQ+CQ+DS .......... (因为 AP+BP=AB，CR+DR=CD，AS+DS=AD，BQ+CQ=BC)

⇒ (AP+BP) + (CR+DR) = (AS+DS) + (BQ+CQ)

⇒ AB+CD=AD+BC