下图显示了一个圆形扇形，圆心为 $O$，包含一个角 $\theta$。证明：阴影区域的周长为 $r(\tan \theta+\sec \theta+\frac{\pi \theta}{180}-1)$"\n

已知

一个圆形扇形，圆心为 $O$，包含一个角 $\theta$。

要求

我们必须证明阴影区域的周长为 $r(\tan \theta+\sec \theta+\frac{\pi \theta}{180}-1)$。

解答

从图中，

圆的半径 $= r$

弧 $AC$ 在圆心处张成的角为 $\theta$。

$\angle OAB$ 是一个直角三角形。

在直角三角形 $OAB$ 中，

$\tan \theta=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{OA}}$

$\Rightarrow \mathrm{AB}=\mathrm{OA} \times \tan \theta$

$=r \tan \theta$

$\Delta \mathrm{OAB}$ 的面积$=\frac{1}{2} \mathrm{OA} \times \mathrm{AB}$

$=\frac{1}{2} \times r \times (r \tan \theta)$

$=\frac{1}{2} r^{2} \tan \theta$

扇形 $\mathrm{OAC}$ 的面积$=\pi r^{2} (\frac{\theta}{360^{\circ}})$

$=\frac{\pi r^{2} \theta}{360}$

弧 $\mathrm{AC}$ 的长度$=2 \pi r \times \frac{\theta}{360^{\circ}}$

$=\frac{2 \pi r \theta}{360^{\circ}}$

$=\frac{\pi r \theta}{180^{\circ}}$

阴影区域的周长$=$ 弧 $AC+A B+B C$

$=\frac{\pi r \theta}{180}+r \tan \theta+(\mathrm{OB}-\mathrm{OC})$

$=\frac{\pi r \theta}{180}+r \tan \theta+(r \sec \theta-r)$          (因为 $\mathrm{OB}=r \sec \theta$)

$=r(\frac{\pi \theta}{180}+\tan \theta+\sec \theta-1)$

$=r(\tan \theta+\sec \theta+\frac{\pi \theta}{180}-1)$

证毕。

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更新于： 2022年10月10日

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