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法律研究下图显示了一个圆形扇形，圆心为 $O$，包含一个角 $\theta$。证明：阴影区域的周长为 $r(\tan \theta+\sec \theta+\frac{\pi \theta}{180}-1)$
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已知
一个圆形扇形，圆心为 $O$，包含一个角 $\theta$。
要求
我们必须证明阴影区域的周长为 $r(\tan \theta+\sec \theta+\frac{\pi \theta}{180}-1)$。
解答
从图中，
圆的半径 $= r$
弧 $AC$ 在圆心处张成的角为 $\theta$。
$\angle OAB$ 是一个直角三角形。
在直角三角形 $OAB$ 中，
$\tan \theta=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{OA}}$
$\Rightarrow \mathrm{AB}=\mathrm{OA} \times \tan \theta$
$=r \tan \theta$
$\Delta \mathrm{OAB}$ 的面积$=\frac{1}{2} \mathrm{OA} \times \mathrm{AB}$
$=\frac{1}{2} \times r \times (r \tan \theta)$
$=\frac{1}{2} r^{2} \tan \theta$
扇形 $\mathrm{OAC}$ 的面积$=\pi r^{2} (\frac{\theta}{360^{\circ}})$
$=\frac{\pi r^{2} \theta}{360}$
弧 $\mathrm{AC}$ 的长度$=2 \pi r \times \frac{\theta}{360^{\circ}}$
$=\frac{2 \pi r \theta}{360^{\circ}}$
$=\frac{\pi r \theta}{180^{\circ}}$
阴影区域的周长$=$ 弧 $AC+A B+B C$
$=\frac{\pi r \theta}{180}+r \tan \theta+(\mathrm{OB}-\mathrm{OC})$
$=\frac{\pi r \theta}{180}+r \tan \theta+(r \sec \theta-r)$ (因为 $\mathrm{OB}=r \sec \theta$)
$=r(\frac{\pi \theta}{180}+\tan \theta+\sec \theta-1)$
$=r(\tan \theta+\sec \theta+\frac{\pi \theta}{180}-1)$
证毕。
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