求点 $P (\frac{3}{4} , \frac{5}{12})$ 将连接点 $A (\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ 和 $B (2, -5)$ 的线段分成的比。

已知

点 $P (\frac{3}{4} , \frac{5}{12})$ 将连接点 $A (\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ 和 $B (2, -5)$ 的线段分成两部分。

要求

我们需要找到分割的比例。

解答

利用分点公式，如果点 $( x,\ y)$ 将连接点 $( x_1,\ y_1)$ 和 $( x_2,\ y_2)$ 的线段按比例 $m:n$ 分割，则

$(x,\ y)=( \frac{mx_2+nx_1}{m+n},\ \frac{my_2+ny_1}{m+n})$

这里，

$x_1=\frac{1}{2}, y_1=\frac{3}{2}, x_2=2, y_2=-5$

设比例为 $m:n$

这意味着，

$P (\frac{3}{4} , \frac{5}{12})=( \frac{m(2)+n(\frac{1}{2})}{m+n},\ \frac{m(-5)+n(\frac{3}{2})}{m+n})$

因此，将两边的坐标等同，我们得到，

$\frac{3}{4}=\frac{m(2)+n(\frac{1}{2})}{m+n}$

$\Rightarrow  3(m+n)=4(2m+\frac{1}{2}n)$

$\Rightarrow  3m+3n=8m+2n$

$\Rightarrow  8m-3m=3n-2n$

$\Rightarrow  5m=n$

$\Rightarrow  \frac{m}{n}=\frac{1}{5}$

​$\Rightarrow  m:n=1:5$ 

 所需的比例是 $1:5$。 

更新于: 2022年10月10日

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