求所有三位数自然数中，11的倍数的和。

已知

能被11整除的三位数自然数。

要求

求所有能被11整除的三位数自然数的和。

解答

能被11整除的三位数是 \( 110,121,132,143, \ldots 990 \)
这里：

首项 \( (a)=110 \)
公差 \( (d)=121-110=11 \)

末项 \( (l)=990 \)

设项数为 \( n \)

我们知道：

$a_{n}=a+(n-1) d$
$\Rightarrow 990=110+(n-1) \times 11$
$\Rightarrow 990=110+11 n-11$
$\Rightarrow 11 n=990-99=891$

$n=\frac{891}{11}=81$
$\mathrm{S}_{n}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$
$=\frac{81}{2}[2 \times 110+(81-1) \times 11]$
\( =\frac{81}{2}[220+80 \times 11] \)
\( =\frac{81}{2}[220+880] \)
\( =\frac{81}{2} \times 1100 \)

\( =81 \times 550=44550 \)

所有能被11整除的三位数自然数的和是 $44550$。

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更新于：2022年10月10日

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