如果 $2^x \times 3^y \times 5^z = 2160$，求 $x, y$ 和 $z$ 的值。然后，计算 $3^x \times 2^{-y} \times 5^{-z}$ 的值。

已知

$2^x \times 3^y \times 5^z = 2160$

要求：

我们需要求解 $x, y$ 和 $z$ 的值，并计算 $3^x \times 2^{-y} \times 5^{-z}$ 的值。

解答

我们知道：

$(a^{m})^{n}=a^{m n}$

$a^{m} \times a^{n}=a^{m+n}$

$a^{m} \div a^{n}=a^{m-n}$

$a^{0}=1$

因此：

2160 的质因数分解为：

$2160=2^4\times3^3\times5^1$

这意味着：

$2^x \times 3^y \times 5^z=2^4\times3^3\times5^1$

比较两边，我们得到：

$x=4, y=3, z=1$

这意味着：

$3^x \times 2^{-y} \times 5^{-z}=3^{4}\times2^{-3}\times5^{-1}$

$=\frac{3^4}{2^3\times5^1}$

$=\frac{81}{8\times5}$

$=\frac{81}{40}$

$x, y$ 和 $z$ 的值分别为 4, 3 和 1。$3^x \times 2^{-y} \times 5^{-z}$ 的值为 $\frac{81}{40}$。   

更新于：2022年10月10日

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