如果$\frac{cos\alpha}{cos\beta}=m$ 且 $\frac{cos\alpha}{sin\beta}=n$，则证明$( m^{2}+n^{2})cos^{2}\beta=n^{2}$。

已知：$\frac{cos\alpha}{cos\beta}=m$ 且 $\frac{cos\alpha}{sin\beta}=n$。

求证：$( m^{2}+n^{2})cos^{2}\beta=n^{2}$。

解答：

左边$=( m^{2}+n^{2})cos^{2}\beta$

$=( ( \frac{cos\alpha}{cos\beta})^{2}+( \frac{cos\alpha}{sin\beta})^{2})cos^{2}\beta$

$=( \frac{cos^{2}\alpha}{cos^{2}\beta}+\frac{cos^{2}\alpha}{sin^{2}\beta})cos^{2}\beta$

$=( \frac{cos^{2}\alpha\cdot sin^{2}\beta+cos^{2}\alpha\cdot cos^{2}\beta}{cos^{2}\beta\cdot sin^{2}\beta})cos^{2}\beta$

$=cos^{2}\alpha( \frac{sin^{2}\beta+cos^{2}\beta}{cos^{2}\beta\cdot sin^{2}\beta})cos^{2}\beta$

$=( \frac{cos^{2}\alpha}{sin^{2}\beta}\cdot 1)$

$=\frac{cos^{2}\alpha}{sin^{2}\beta}$

$=n^{2}$

$=$右边

因此，证明了 $( m^{2}+n^{2})cos^{2}\beta=n^{2}$。

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更新于：2022年10月10日

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