计算$\frac{sin^{2} \ 63^\circ\ +\ sin^{2} \ 27^\circ\ }{cos^{2} \ 17^\circ\ +\ cos^{2} \ 73^\circ}$

已知：$\frac{sin^{2} \ 63^\circ\ +\ sin^{2} \ 27^\circ\ }{cos^{2} \ 17^\circ\ +\ cos^{2} \ 73^\circ}$

$\frac{sin^{2} \ 63^\circ\ +\ sin^{2} \ 27^\circ\ }{cos^{2} \ 17^\circ\ +\ cos^{2} \ 73^\circ}$

求解： 我们需要计算 $\frac{sin^{2} \ 63^\circ\ +\ sin^{2} \ 27^\circ\ }{cos^{2} \ 17^\circ\ +\ cos^{2} \ 73^\circ}$

解：

$\frac{sin^{2} \ 63^\circ\ +\ sin^{2} \ 27^\circ\ }{cos^{2} \ 17^\circ\ +\ cos^{2} \ 73^\circ}$

我们知道，$cos( 90^\circ\ -\ \theta ) \ =\ sin\ \theta \ and\ sin( 90^\circ\ -\ \theta ) \ =\ cos\ \theta$

因此，$sin^{2} \ 63^\circ\ =\ sin^{2} \ ( 90^\circ\ -\ 27^\circ) \ =\ cos^{2} \ 27^\circ$

同样地，$cos^{2} \ 17^\circ\ =\ cos^{2} \ ( 90^\circ\ -\ 73^\circ) \ =\ sin^{2} \ 73^\circ$

因此，$\frac{sin^{2} \ 63^\circ\ +\ sin^{2} \ 27^\circ\ }{cos^{2} \ 17^\circ\ +\ cos^{2} \ 73^\circ} \ $

$=\ \frac{cos^{2} \ 27^\circ\ +\ sin^{2} \ 27^\circ\ }{sin^{2} \ 73^\circ\ +\ cos^{2} \ 73^\circ}$

我们知道 $cos^{2} \ \theta \ \ +\ sin^{2} \ \theta \ \ =\ 1$

$\Longrightarrow \ \frac{cos^{2} \ 27^\circ\ +\ sin^{2} \ 27^\circ\ }{sin^{2} \ 73^\circ\ +\ cos^{2} \ 73^\circ}$

$\Longrightarrow \ \frac{1}{1} \ =\ 1$

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更新于：2022年10月10日

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