如果长方体的长、宽、高分别为 $a, b, c$，体积为 $V$，表面积为 $S$，则证明：
$\frac{1}{\mathrm{~V}}=\frac{2}{\mathrm{~S}}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$

已知

$V$ 是长方体体积，长、宽、高分别为 $a, b, c$，$S$ 是其表面积。

要求

我们需要证明

$\frac{1}{\mathrm{~V}}=\frac{2}{\mathrm{~S}}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$.

解答

$V = a \times b \times c$

$=abc$

$S = 2(lb + bc + ca)$

RHS $=\frac{2}{\mathrm{~S}}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$

$=\frac{2}{\mathrm{~S}}(\frac{b c+c a+a b}{a b c})$

$=\frac{2}{\mathrm{~S}} \times \frac{\mathrm{S}}{2 \mathrm{~V}}$

$=\frac{1}{\mathrm{~V}}$

$=$ LHS.

证毕。

教程点

更新时间： 2022年10月10日

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