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法律研究三角形\( \mathrm{ABC} \) 的角\( \mathrm{A}, \mathrm{B} \) 和\( \mathrm{C} \) 的角平分线分别交其外接圆于\( \mathrm{D}, \mathrm{E} \) 和 \( \mathrm{F} \)。证明三角形\( \mathrm{DEF} \) 的角分别为\( 90^{\circ}-\frac{1}{2} \mathrm{~A}, 90^{\circ}-\frac{1}{2} \mathrm{~B} \) 和\( 90^{\circ}-\frac{1}{2} \mathrm{C} \)。
已知
三角形\( \mathrm{ABC} \) 的角\( \mathrm{A}, \mathrm{B} \) 和\( \mathrm{C} \) 的角平分线分别交其外接圆于\( \mathrm{D}, \mathrm{E} \) 和 $F$。
要求
我们需要证明三角形\( \mathrm{DEF} \) 的角分别为\( 90^{\circ}-\frac{1}{2} \mathrm{~A}, 90^{\circ}-\frac{1}{2} \mathrm{~B} \) 和\( 90^{\circ}-\frac{1}{2} \mathrm{C} \)。
解答
$\angle EDF = \angle EDA + \angle ADF$
$\angle EDA$ 和 $\angle EBA$ 是圆中同一条弦所对的圆周角。
这意味着，
$\angle EDA = \angle EBA$
类似地，
$\angle ADF$ 和 $\angle FCA$ 是圆中同一条弦所对的圆周角。
这意味着，
$\angle A D F=\angle F C A$
$\angle E D F= \angle EDA + \angle ADF$
$=\angle EBA+\angle F C A$
$=\frac{1}{2} \angle B+\frac{1}{2} \angle C$
$\angle D=\frac{\angle B+\angle C}{2}$
$=\frac{180^{\circ}-\angle A}{2}$ (因为 $\angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ}$)
$=90^o-\frac{\angle A}{2}$
类似地，
$\angle E=\frac{\angle C+\angle A}{2}$
$\angle E=\frac{180^{\circ}-\angle B}{2}$ (因为 $\angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ}$)
$=90^o-\frac{\angle B}{2}$
$\angle E=\frac{\angle A+\angle B}{2}$
$\angle F=\frac{180^{\circ}-\angle C}{2}$ (因为 $\angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ}$)
$\angle F=90^{\circ}-\frac{\angle C}{2}$
证毕。
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