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法律研究证明点$(2a, 4a)$、$(2a, 6a)$和$(2a + \sqrt3 a , 5a)$是等边三角形的顶点。
已知
已知点为$(2a, 4a)$、$(2a, 6a)$和$(2a + \sqrt3 a , 5a)$。
要求
我们必须证明给定点是等边三角形的顶点。
解答
设三角形的顶点为\( \mathrm{A}(2a,4a), \mathrm{B}(2a,6a) \)和\( C(2a+\sqrt3a,5a) \)。
我们知道，
两点\( \mathrm{A}\left(x_{1}, y_{1}\right) \)和\( \mathrm{B}\left(x_{2}, y_{2}\right) \)之间的距离为\( \sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}} \)。
因此，
\( \mathrm{AB}=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}} \)
\( =\sqrt{(2 a-2 a)^{2}+(6 a-4 a)^{2}} \) \( =\sqrt{(0)^{2}+(2 a)^{2}} \)
\( =\sqrt{0+4 a^{2}} \)
\( =2 a \)
\( \mathrm{BC}=\sqrt{(2 a+\sqrt{3} a-2 a)^{2}+(5 a-6 a)^{2}} \)
\( =\sqrt{(\sqrt{3} a)^{2}+(-a)^{2}} \)
\( =\sqrt{3 a^{2}+a^{2}} \)
\( =\sqrt{4 a^{2}}=2 a \)
\( \mathrm{CA}=\sqrt{(2 a-2 a-\sqrt{3} a)^{2}+(4 a-5 a)^{2}} \)
\( =\sqrt{(-\sqrt{3} a)^{2}+(-a)^{2}} \)
\( =\sqrt{3 a^{2}+a^{2}} \)
\( =\sqrt{4 a^{2}}=2 a \)
这里，
\( \mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CA}=2 a \)
我们知道等边三角形三边相等。
因此，$(2a, 4a)$、$(2a, 6a)$和$(2a + \sqrt3 a , 5a)$是等边三角形的顶点。
证毕。
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