证明点$(2a, 4a)$、$(2a, 6a)$和$(2a + \sqrt3 a , 5a)$是等边三角形的顶点。

已知

已知点为$(2a, 4a)$、$(2a, 6a)$和$(2a + \sqrt3 a , 5a)$。

要求

我们必须证明给定点是等边三角形的顶点。

解答

设三角形的顶点为$\mathrm{A}(2a,4a), \mathrm{B}(2a,6a)$和$C(2a+\sqrt3a,5a)$。

我们知道，

两点$\mathrm{A}\left(x_{1}, y_{1}\right)$和$\mathrm{B}\left(x_{2}, y_{2}\right)$之间的距离为$\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}$。

因此，

$\mathrm{AB}=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}$

$=\sqrt{(2 a-2 a)^{2}+(6 a-4 a)^{2}}$ $=\sqrt{(0)^{2}+(2 a)^{2}}$

$=\sqrt{0+4 a^{2}}$

$=2 a$

$\mathrm{BC}=\sqrt{(2 a+\sqrt{3} a-2 a)^{2}+(5 a-6 a)^{2}}$

$=\sqrt{(\sqrt{3} a)^{2}+(-a)^{2}}$

$=\sqrt{3 a^{2}+a^{2}}$

$=\sqrt{4 a^{2}}=2 a$

$\mathrm{CA}=\sqrt{(2 a-2 a-\sqrt{3} a)^{2}+(4 a-5 a)^{2}}$

$=\sqrt{(-\sqrt{3} a)^{2}+(-a)^{2}}$

$=\sqrt{3 a^{2}+a^{2}}$

$=\sqrt{4 a^{2}}=2 a$

这里，

$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CA}=2 a$

我们知道等边三角形三边相等。

因此，$(2a, 4a)$、$(2a, 6a)$和$(2a + \sqrt3 a , 5a)$是等边三角形的顶点。

证毕。

教程点

更新于: 2022年10月10日

278 次查看

开启你的职业生涯

完成课程获得认证

开始学习