证明有限个可数集的笛卡尔积是可数的。

问题

我们需要证明有限个可数集的笛卡尔积是可数的。

解答

设X1, X2 ,……Xn是可数集。

当k =1……N时，Yk= X1 * X2 * …….* Xk。因此，

Yn := X1 * X2 * · · · * Xn

证明

使用归纳法：

当k = 1时，Y1 = X1是可数的。

假设Yk (k ∈ n, 1 ≤ k < n)是可数的；

则Yk+1 = ( X1 * X2 * …….* Xk) * Xk+1 = Yk * Xk+1，其中Yk和Xk+1都是可数的。因此可数集的笛卡尔积总是可数的。所以，Yk+1是可数的。

同样地，让我们证明有限个可数无限集的笛卡尔积是可数无限的。

证明

设X1, X2 ,……Xn是可数无限集。

当k =1……N时，定义Yk= X1 * X2 * …….* Xk。因此

因此，Yn := X1 * X2 * · · · * Xn

首先我们需要证明Yn是可数的。

通过归纳法

如果k=1，则集合Y1=X1是可数无限的。

假设Yk( K∈N, 1<=K<N)是可数无限的。

那么，

Yk+1=(X1 * X2 *....Xk) * Xk+1

Yk+1=Yk * Xk+1

其中，Yk和Xk+1都是可数无限的，我们知道可数集的笛卡尔积是可数的。

因此，Yk+1是可数无限的。

我们得出结论，X1 * X2 *.....Xn是可数无限的。

因此，有限个可数无限集的笛卡尔积是可数无限的。

Bhanu Priya

更新于：2021年6月16日

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