雷达系统 - 测距方程

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雷达测距方程用于理论上计算目标的距离。本章将讨论雷达测距方程的标准形式，然后讨论雷达测距方程的两种修正形式。

我们将从雷达测距方程的标准形式推导出这些修正形式。现在，让我们讨论雷达测距方程标准形式的推导。

雷达测距方程的推导

雷达测距方程的标准形式也称为雷达测距方程的简化形式。现在，让我们推导出雷达测距方程的标准形式。

我们知道功率密度就是功率与面积之比。因此，距雷达距离为 R 处的功率密度 P_di 可以用数学表示为：

$$P_{di}=\frac{P_t}{4\pi R^2}\:\:\:\:\:公式\:1$$

其中：

P_t 是雷达发射机发射的功率

上述功率密度对各向同性天线有效。通常，雷达使用定向天线。因此，定向天线产生的功率密度 P_dd 将为：

$$P_{dd}=\frac{P_tG}{4\pi R^2}\:\:\:\:\:公式\:2$$

目标从接收到的输入功率向不同方向辐射功率。反射回雷达的功率取决于其横截面。因此，回波信号在雷达处的功率密度 P_de 可以用数学表示为：

$$P_{de}=P_{dd}\left (\frac{\sigma}{4\pi R^2}\right )\:\:\:\:\:公式\:3$$ 将公式 2 代入公式 3。

$$P_{de}=\left (\frac{P_tG}{4\pi R^2}\right )\left (\frac{\sigma}{4\pi R^2}\right )\:\:\:\:\:公式\:4$$

雷达接收到的功率 P_r 取决于接收天线的有效孔径 A_e。

$$P_r=P_{de}A_e\:\:\:\:\:公式\:5$$

将公式 4 代入公式 5。

$$P_r=\left (\frac{P_tG}{4\pi R^2}\right )\left (\frac{\sigma}{4\pi R^2}\right )A_e$$

$$\Rightarrow P_r=\frac{P_tG\sigma A_e}{\left (4\pi\right )^2 R^4}$$

$$\Rightarrow R^4=\frac{P_tG\sigma A_e}{\left (4\pi\right )^2 P_r}$$

$$\Rightarrow R=\left [\frac{P_tG\sigma A_e}{\left (4\pi\right )^2 P_r}\right ]^{1/4}\:\:\:\:\:公式\:6$$

雷达测距方程的标准形式

如果回波信号的功率小于最小可检测信号的功率，则雷达无法检测到目标，因为它超出了雷达距离的最大限值。

因此，可以说当接收到的回波信号功率等于最小可检测信号功率时，目标距离为最大距离。将 R=R_Max 和 P_r=S_min 代入公式 6，我们将得到以下方程：

$$R_{Max}=\left [\frac{P_tG\sigma A_e}{\left (4\pi\right )^2 S_{min}}\right ]^{1/4}\:\:\:\:\:公式\:7$$

公式 7 表示雷达测距方程的标准形式。使用上述方程，我们可以找到目标的最大距离。

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雷达测距方程的修正形式

我们知道定向天线的增益 G 和有效孔径 A_e 之间的以下关系。

$$G=\frac{4\pi A_e}{\lambda^2}\:\:\:\:\:公式\:8$$

将公式 8 代入公式 7。

$$R_{Max}=\left [ \frac{P_t\sigma A_e}{\left ( 4\pi \right )^2S_{min}}\left ( \frac{4\pi A_e}{\lambda^2} \right ) \right ]^{1/4}$$

$$\Rightarrow R_{Max}=\left [\frac{P_tG\sigma {A_e}^2}{4\pi \lambda^2 S_{min}}\right ]^{1/4}\:\:\:\:\:公式\:9$$

公式 9 表示雷达测距方程的修正形式。使用上述方程，我们可以找到目标的最大距离。

我们将从公式 8 得到有效孔径 A_e 与定向天线增益 G 之间的以下关系。

$$A_e=\frac{G\lambda^2}{4\pi}\:\:\:\:\:公式\:10$$

将公式 10 代入公式 7。

$$R_{Max}=\left [\frac{P_tG\sigma}{\left (4\pi\right )^2 S_{min}}(\frac{G\lambda^2}{4\pi})\right ]^{1/4}$$

$$\Rightarrow R_{Max}=\left [\frac{P_tG^2 \lambda^2 \sigma}{\left (4\pi\right )^2 S_{min}}\right ]^{1/4}\:\:\:\:\:公式\:11$$

公式 11 表示雷达测距方程的另一种修正形式。使用上述方程，我们可以找到目标的最大距离。

注意 - 根据给定的数据，我们可以使用以下三个方程之一来找到目标的最大距离：

• 公式 7
• 公式 9
• 公式 11

例题

在上一节中，我们得到了雷达测距方程的标准形式和修正形式。现在，让我们使用这些方程来解决一些问题。

问题 1

根据以下规格计算雷达的最大距离：

• 雷达发射的峰值功率，P_t=250KW
• 发射天线的增益，G=4000
• 接收天线的有效孔径，A_e=4 m²
• 目标的雷达截面，σ=25 m²
• 最小可检测信号的功率，S_min=10^-12W

解答

为了根据给定的规格计算雷达的最大距离，我们可以使用雷达测距方程的以下标准形式。

$$R_{Max}=\left [\frac{P_tG \sigma A_e}{\left (4\pi \right )^2 S_{min}}\right ]^{1/4}$$

将所有给定的参数代入上述方程。

$$R_{Max}=\left [\frac{ \left ( 250\times 10^3 \right )\left ( 4000 \right )\left ( 25 \right )\left ( 4 \right )}{\left ( 4\pi \right )^2 \left ( 10^{-12} \right )} \right ]^{1/4}$$

$$\Rightarrow R_{Max}=158\:KM$$

因此，根据给定的规格，雷达的最大距离为 158 公里。

问题 2

根据以下规格计算雷达的最大距离。

• 工作频率，f=10GHz
• 雷达发射的峰值功率，P_t=400KW
• 接收天线的有效孔径，A_e=5 m²
• 目标的雷达截面，σ=30 m²
• 最小可检测信号的功率，S_min=10^-10W

解答

我们知道根据工作频率 f 计算工作波长 λ 的以下公式。

$$\lambda =\frac{C}{f}$$

将 C=3×10⁸m/sec 和 f=10GHz 代入上述方程。

$$\lambda =\frac{3\times 10^8}{10\times 10^9}$$

$$\Rightarrow \lambda=0.03m$$

因此，当工作频率 f 为 10GHz 时，工作波长 λ 等于 0.03m。

为了根据给定的规格计算雷达的最大距离，我们可以使用雷达测距方程的以下修正形式。

$$R_{Max}=\left [\frac{P_t \sigma {A_e}^2}{4\pi \lambda^2 S_{min}}\right ]^{1/4}$$

将给定的参数代入上述方程。

$$R_{Max}=\left [ \frac{\left ( 400\times 10^3 \right )\left ( 30 \right )\left ( 5^2 \right )}{4\pi\left ( 0.003 \right )^2\left ( 10 \right )^{-10}} \right ]^{1/4}$$

$$\Rightarrow R_{Max}=128KM$$

因此，根据给定的规格，雷达的最大距离为 128 公里。